Matrizes

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O que é Matriz?
As matrizes são tabelas organizadas em linhas e colunas. Em álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas.

Cada um dos seus elementos tem dois índices (ai j). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna.  O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama  dimensão da matriz.A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão   m x n (m por n) e a representamos por A = (ai j) m x n.Quando o número de linhas é igual ao número de colunas  dizemos que a matriz é de ordem n.
EX.

Como montar uma matriz?
Uma matriz pode ser montada de vários modos, mais sempre respeitando a lei de formação.
Ex.
Vamos escrever a matrizA dada por (aij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

Outra forma de montar uma matriz pela lei de formação é:
Ex.
A3x3
aij = 3i + 2j.

Produto entre matrizes
A multiplicação entre duas matrizes só poderá ser feita se o número de colunas da
primeira for igual ao número de linhas da segunda. Por exemplo; A é uma matriz m x pe B é uma matriz p x n, então o produto AB é a matriz m x n cuja entrada ij é obtida multiplicando-se a linha i da A pela coluna j de B.
Ex:

Amxp * Bpxn = ABmxn

A 3x2 e B2x2 calcule AB

A A11 A12 B B11 B12
A21 A22 B21 B22

AB A11.B11+ A12.B21
A21.B12 + A22.B22Multiplicação de um número real por uma matriz

A multiplicação de uma matriz por um número real funciona da seguinte forma, consideranos uma matriz Y de ordem mxn e um número real qualquer P.
Quando multiplicamos o número real P pela matriz Y encontramos xomo produto outra matriz P.Y de ordem mxn e seus elementos é o produto de P por cada elemento de Y.

Exemplo:
Dada a Matriz Y= 4 5 69 e P = o número real = 5
5 2 3 5
8 6 2 1

Agora aplicamos a multiplicação do número real com a matriz e teremos o resultado do produto P.Y, da mesma ordem.

5. 4 5 6 9 20 25 30 45
5 2 3 5= P.Y = 20 10 15 20
8 6 2 1 40 30 10 5

Multiplicação de matrizes

   O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.
   Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é amatriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
   Vamos multiplicar a matriz  para entender como se obtém cada Cij:
* 1ª linha e 1ª coluna
   
* 1ª linha e 2ª coluna
   
* 2ª linha e 1ª coluna
   
* 2ª linha e 2ª coluna
   
   

Assim, .
   Observeque:

   Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
   Vejamos outro exemplo com as matrizes :

   

    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
* Se A3 x 2 e B 2 x 5 ,então ( A . B ) 3 x 5
* Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
* Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

Adição de Matriz

Adição de duas matrizes deve se da mesma ordem, e por sua vez o resultado dessa soma será o resultado de outra matriz de mesma ordem, (mesmo número de linha e de colunas).
Assim concluirmos que: somam-se matriz A...
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