Matrizes

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FACULDADE ANHANGUERA EDUCACIONAL
Profº Guilherme

Joyce Trosdoff Akiyama Camargo RA: 2551447692
Aldo Mendes de Carvalho RA: 1191425409
Ataíde de Oliveira Alfredo RA: 1158296800
Marcelo Bernardes Costa Coutinho RA: 2504089769

MATRIZES

SÃO JOSÉ DOS CAMPOS
2011

Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa umnúmero real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.
a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)
a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)
... ... ... ...
a(m,1) a(m,2) ... a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes
1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas,dizemos que a ordem da matriz é m×n.
2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
5. Matriz quadrada é a matriz que tem onúmero de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
8. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
9. Matriz complexa é aquela que tem númeroscomplexos como elementos.
10. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
11. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
12. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Exemplos de matrizes
Matriz4x4 de números reais:
12 -6 7 18
-23 -24 0 0
0 0 5 0
0 0 0 9
Matriz 4x4 de números complexos:
12 -6+i 7 i
-i -24 0 0
0 0 5+i 5-i
0 0 0 9
Matriz nula com duas linhas e duas colunas:
0 0
0 0
Matriz nula com três linhas e duas colunas:
0 0
0 0
0 0
Matriz identidade com três linhas e três colunas:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
23 0 0 0
0-56 0 0
0 0 0 0
0 0 0 100

Matrizes iguais
Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
a(i,j) = b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:
1 2
3 4
= x-1 y-1
x+y x2

Soma de matrizes e suas propriedadesA soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:
c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
-23 10
7 9
+ 10 5
8 9
= -13 15
15 18

Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesmaordem m×n, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A + B = B + A
A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A,cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades
Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:
c(i,j) = k. a(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A,...
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