Matrizes

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O que é matrizes:
Matrizes são tabelas com linhas e colunas que são utilizadas para organizar dados numéricos.
Matrizes iguais ou igualdade de matrizes: Se temos uma matriz A e uma matriz B elas só serão iguais se todos os elementos de A forem iguais a todos os elementos de B
Matrizquadrada
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
Vetor
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e ncolunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades
Tipo de matriz | é quadrada? | Tem inversa? | Qual é sua transposta? | Positiva/ negativa definida? |
Matriz identidade In | Sempre | Sim, ela mesma: In | Ela mesma, In (é uma matriz simétrica) | Sempre épositiva definida |
Matriz inversa  | Sempre | Sim, e é igual à matriz original,  | | Positiva definida se B for positiva definida |
Matriz singular  | Sempre | Nunca | | |
Matriz simétrica  | Sempre | Não necessariamente | | Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos [1] |
Matriz transposta Et | Não necessariamente | Não necessariamente | E ||
Matriz positiva definida F | Sempre | Sim, e F-1 também é positiva definida | Ft | Sempre é positiva definida |
Matriz negativa definida G | Sempre | Sim, e G-1 também é negativa definida[1] | Gt | Sempre é negativa definida |

Matriz identidade

A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero,por exemplo

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordem m por n.

Matriz inversa
Uma matriz  é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial  ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente pois assim como o produto entredois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.
A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa éúnica. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação  pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que  ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos dasegunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo: 

Matriz simétrica
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificaçãodos números reais em positivos ou negativos.
Seja M uma matriz quadrada de dimensão nXn e z um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão nX1. Note que se n=1, temos a definição de número real positivo ou negativo.

| Semi-definida | Definida |
Positiva | M positiva semidefinida se  | M é positiva definida se  |
Negativa | M é negativa...
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