Matrizes e determinantes

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Matriz
Para compreender melhor o que é uma matriz, iremos compará-la com uma tabela. Toda tabela é formada por linhas e colunas, assim como uma matriz. Na matriz indicamos a quantidade de linhas por m e a quantidade de colunas por n. Tanto em uma tabela como em uma matriz a quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a um e somente números naturais.

Matematicamente podemos definirmatriz como:

Uma matriz m x n com m N* e n N* será disposta em m linhas e n colunas.

A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:

Os elementos são colocados entre parênteses:


Os elementos são colocados entre colchetes:


Os elementos são colocados entre duas barras paralelas:


Observado as matrizes acima percebemos que todas são compostas pornúmeros e esses são os elementos das matrizes. Todos os elementos pertencem a umadeterminada linha e coluna de uma matriz.

Dada a matriz qualquer A3x2 (lê-se matriz A de ordem dois por três), veja como é feita a sua representação.



O elemento a11 pertence a 3° linha e 2° coluna.
O elemento a21 pertence a 2º linha e 3° coluna.
O elemento a31 pertence a 3° linha e 1° coluna.
O elementoa12 pertence a 1º linha e 2° coluna.
O elemento a22 pertence a 2º linha e 2º coluna.
O elemento a32 pertence a 3º linha e 2º coluna.

Podemos dizer que aij i representa a linha e j representa a coluna.

Veja o exemplo abaixo:

Escreva a matriz B = (bij)2x3 que bij = i . j.
Devemos construir uma matriz B com duas linhas e três colunas:



Cada elemento deverá obedecer aseguinte regra bij = i . j.

b11 = 1 . 1
b11 = 1

b21 = 2 . 1
b21 = 2

b12 = 1 .2
b12 = 2

b22 = 2 . 2
b22 = 4

b13 = 1 . 3
b13 = 3

b23 = 2 . 3
b23 = 6

Colocando cada valor em seu determinado elemento na matriz b, podemos concluir que a matriz B será determinada pelos seguintes elementos:



Matriz quadrada

Matriz quadrada é um tipo especial de matriz quepossui o mesmo número de linhas e o mesmo de colunas. Ou seja, dada uma matriz A n x m será uma matriz quadrada se, somente se, n = m.

Por exemplo:

B = (5) 1x1

A matriz B possui apenas um elemento e é uma matriz quadrada, pois o mesmo número de linha é o mesmo número de colunas, podendo ser chamada de matriz de ordem 1.



A matriz A é uma matriz quadrada, pois o número de linha éigual a 4 e o número de colunas também é igual a 4, podendo ser chamada de matriz de ordem quatro. Se fosse uma matriz B3x3 poderia ser chamada de matriz de ordem 3.

Toda matriz quadrada possui duas diagonais: Diagonal Principal e Diagonal Secundária.



a11 = 12, a22 = 6, a33 = 0 e a44 = 7, formam a diagonal principal.
a14 = 6, a23= 20, a32 = -4 e a41 = -1, formam a diagonal secundária.Podemos concluir que uma matriz quadrada pode ser definida por:

Numa matriz quadrada de C de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

Veja o exemplo abaixo de uma matriz que mostra que a definição acima é verdadeira.

Dada uma matriz A qualquer de ordem 2:



Adefinição diz que os elementos da diagonal principal têm i = j, observando o exemplo percebemos que os elementos a11 e a22 que pertencem à diagonal principal realmente tem i = j.
A definição também conclui que a diagonal secundária é formada por i + j = n + 1, observando o exemplo percebemos que os elementos a12 e a21 que pertencem à diagonal secundária seguem a mesma regra: a12 = 1 + 2 = 2 + 1 e a21= 2 + 1 = 2 + 1.

Matriz Diagonal e Matriz identidade
Para que uma matriz tenha diagonal ela deverá ser uma matriz quadrada, então umamatriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos que não pertencem à diagonal principal são obrigatoriamente iguais a zero.



Portanto, podemos definir matriz diagonal como: Dado uma matriz C = (aij) n x n com
n ≥ 2é chamada de matriz...
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