Matrizes e determinantes

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Matrizes
Uma matriz é uma função que a cada par ordenado (i, j) se associa um número real. Também pode ser definido como um quadro retangular completo de valores (geralmente números) chamados coordenadas. Muito importante para a resolução de equações simultâneas, obedece a certas regras de adição, multiplicação, etc. Se uma matriz A tem m linhas e n colunas, podemos dizer que a ordem da matriz ém x n.


OPERAÇÕES:
Existem alguns tipos de operações que podem ser efetuadas com matrizes. São elas:
Igualdade:
Para efetuar a igualdade entre matrizes, basta igualar os termos da primeira matriz com os seus correspondentes na segunda matriz. A igualdade só será possível se a ordem das matrizes forem iguais.
Ex1:
|■(a&b@c&d)|=|■(5&6@3&4)|→|■(5&6@3&4)|2x2
Ex2:|■(-5+a@6+b)|=|■(-2a+10@3)|→|■(-5+a=-2a+10@6+b=3)|→|■(a=5@b=-3)|∴(■(0@3))2x1
Adição e Subtração de Matrizes
Como na igualdade, a soma e a subtração entre matrizes só será possível quando a ordem das mesmas for igual. A operação matemática também segue o critério utilizado na igualdade.
Ex1:
|■(5&4@2&5)|+|■(2&1@8&3)|=|■(7&5@10&8)|2x2
Ex2:
|■(5&4@2&5)|-|■(2&1@8&3)|=|■(3&3@-6&2)|2x2

Matriz Transposta
Para efetuara transposição de uma matriz, basta transforma a linhas da matriz em colunas. Seu símbolo é dado por At.
Ex1:
(■(1&2&3@7&6&5))=(■(1&7@2&6@3&5))3x2

Multiplicação de número real pela matriz
A multiplicação de um número real pela matriz é dada pela multiplicação deste número por todos os elementos da matriz.
Ex1:
A=|■(2&3@4&5)|→2*A=|■(4&6@8&10)|2x2



Multiplicação entre matrizes
Amultiplicação entre matrizes depende da associação entre o número de linhas e colunas destas matrizes, onde o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. E ainda, a ordem da matriz resultante será igual ao número de linhas da matriz A pelo número de colunas da matriz B.

Satisfeita a condição, basta multiplicar as linhas da matriz A pelas colunas da matriz B erealizar o somatório dos seus termos.


Ex1:
Dada a matriz A=⌈■(2&3@1&0@4&5)⌉ e B=⌈■(3&1@2&4)⌉, calcule A*B.




Matriz inversa
A matriz inversa (A-1) é dada pelo mesmo método quando se quer encontrar o inverso de um número real, ou seja, sendo a e b dois números reais, a será o inverso de b, se e somente se a*b ou b*a for igual a 1.
Uma matriz só terá a sua inversa se ela forquadrada e se a resultante do produto entre a matriz e sua inversa for uma matriz identidade. A x A-1 = I
Lembrando que I é dado como matriz identidade, onde a única observação a ser dada é que a diagonal principal desta matriz é formada por 1 e os demais por zero.
I=(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))

Ex1:
Encontre a inversa da matriz: A = |■(2&4@6&8)|2x2, sabendo que A * A-1 = I[■(2&4@6&8)]*[■(a&b@c&d)]=[■(1&0@0&1)]→
[■(2*a+4*c&2*b+4*d@6*a+8*c&6*b+8*d)]=[■(1&0@0&1)]→
[■(2a+4c&2b+4d@6a+8c&6b+8d)]=[■(1&0@0&1)]→ realizada a multiplicação, basta igualar os termos das matrizes.
|■(2a+4c=1&2b+4d=0@6a+8c=0&6b+8d=1)|→
Resolvendo o sistema acima teremos: a=-1,b=1/2,c=3/4 e d=-1/4 ∴

[■(2&4@6&8)]*[■(-1&1/2@3/4&-1/4)]=[■(1&0@0&1)]

Determinantes
Desenvolvida simultaneamente na Alemanha pelomatemático Leibniz e no Japão pelo matemático Seki Shinsuke Kowa, a teoria dos determinantes foi criada para solucionar problemas de eliminações (escalonamento) necessárias à resolução de um sistema de m equações lineares e n incógnitas. Isto será obtido através da conversão de toda a matriz em um único número, onde esta matriz será quadrada. Para obter o determinante, multiplica-se os elementos dadiagonal principal, que será somado (ou subtraído, dependendo do sinal do termo) ao resultado da multiplicação da diagonal secundária, que terá o seu sinal trocado. O valor resultante desta soma ou subtração será o determinante da matriz.

Definição:
Encontramos a seguinte definição que guiou nossos estudos:
“Determinante é a somatória de todos os produtos possíveis dos n elementos...
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