Matrizes duplas

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MATRIZES LINEARES


Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.
A teoria de matrizes está intimamente ligada com a teoria de sistemas de equações lineares apresentada anteriormente. Os antigos chineses estabeleceram uma forma sistemática de resolver equações simultâneas. A teoria de equaçõessimultâneas foi popularizada no oriente pelo matemático japonês Seki e, um pouco depois, por Leibniz, o maior rival de Newton. Posteriormente, Gauss, outro grande nome da matemática moderna, popularizou o uso de um algoritmo para a resolução de qualquer número de equações lineares simultâneas. Em sua homenagem, o processo passou a ser conhecido como eliminação gaussiana.
Em matemática, a teoriade sistemas lineares é um ramo da álgebra linear, uma matéria que é fundamental para a matemática moderna. Algoritmos computacionais para achar soluções são uma parte importante da álgebra linear numérica, e tais métodos têm uma grande importância na engenharia, física, química, ciência da computação e economia. Um sistema de equações não-lineares freqüentemente pode ser aproximado para um sistemalinear, uma técnica útil quando se está fazendo um modelo matemático ou simulação computadorizada de sistemas complexos.
Uma Equação linear é uma expressão do tipo:
[pic]
Onde as variáveis  x1,  x2,  x3, ... ,  xn,  são as incógnitas da equação que podem assumir quaisquer valores reais,  a1,  a2,  a3, ... ,  an,  são números reais fixos  que recebem o nome de coeficientes dasincógnitas. O número real  b  chama-se termo independente.
Um sistema de  m  equações lineares com  n  incógnitas, tem como expressão geral:
[pic]
onde: aij,  i = 1, 2, 3, ... , m ;  j = 1, 2, 3, ... , n  são números reis fixos, que recebem o nome de coeficientes do sistema.
x1,  x2,  x3, ... ,  xn,  são as incógnitas do sistema.
b1,  b2,  b3,  ... ,  bm,  são também números reaisfixos e chamam-se termos independentes.
Se todos os termos  independentes forem nulos, o sistema chama-se homogêneo.
Resolver um sistema de equações lineares é encontrar, se existirem, os números reais que podem assumir as incógnitas de modo que satisfaçam  todas as equações. Uma solução de un sistema de equações lineares é um conjunto de números reais  (s1,  s2,  s3,  ...,  sn),tais que, ao substituirmos  x1  por  s1,  x2  por  s2,  x3  por  s3, ...,  xn  por  sn  verificam-se simultaneamente todas as equações do sistema.
Os sistemas de equações lineares podem ser classificados, em função de suas soluções:
·         Compatíveis: Têm ao menos uma solução. Além disso, um sistema não pode ter   2,  3,  4, ... , k   soluções. Ou tem uma ou infinitas. Como conseqüência,os sistemas compatíveis, podem ser:
• Determinados: A solução é única.
• Indeterminados: Têm infinitas soluções.
• Incompatíveis: Não tem solução.
Um sistema de  m  equações lineares com  n  incógnitas pode ser escrito em forma matricial do seguinte modo:  A X = B.  A matriz  A  chama-se matriz do sistema e tem dimensão  m x n  e seus elementos são oscoeficientes das incógnitas. A matriz  X  é uma matriz coluna, de dimensão  n x 1,  formada pelas incógnitas do sistema. Por último, a matriz  B  é outra matriz coluna, de dimensão  m x 1,  formada pelos termos independentes. Ou seja:
 
[pic]
 
Finalmente, chama-se matriz ampliada do sistema, que representaremos por  A*,  a matriz de dimensão  m x (n+1)  que é obtida a partir da matriz A,  acrescentando a coluna formada pelos termos independentes, ou seja:
 
[pic]



RELAÇÃO BINÁRIA
Uma relação binária R sobre dois universos A e B é [pic]
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×A pode ser chamado...
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