Matrizes determinantes e sistemas de equações lineares

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MATRIZES E DETERMINANTES

Uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m e n, onde n ≥ 1 e m ≥ 1.
Para representar essas linhas e colunas devemos obedecer às regras, dependendo do número de linhas e colunas a matriz recebe um nome e podemos também aplicar a elas as quatro operações.
Determinante é um tipo de matriz, mas essadeverá ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, que é chamada de matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas tem suas propriedades, como achar o valor numérico de um determinante.
O determinante de uma matriz é dado pelo valor numérico, resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos dadiagonalsecundária. Nas matrizes quadradas de 3 x 3, esses cálculos podem ser efetuados repetindo – se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Saurus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas.
OBS: Segue abaixo cálculo de determinantes nas matrizes de ordem 2x2 e 3x3.

Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2

Diagonal principal: 2* 6 = 12
Diagonal Secundária: 9 * (-1) = -9
Det = 12 – (-9) = 12 + 9 = 21

Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3
Regra de Sarrus

Diagonal principal: 2 * 6 * 3 = 36
5 * 7 * (-1) = -35
6 * 1 * 2 = 12
Soma: 36 + (-35) + 12
36 – 35 + 12
48 – 35 = 13

Diagonal secundária: 6 * 6 (-1) = - 362 * 7 * 2 = 28
5 * 1 * 3 = 15
Soma: - 36 + 28 + 15
- 36 + 43
7
13 – 7 = 6
Portanto, nas matrizes de ordem 2 x 2, calculamos o determinante de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal principal do produto da diagonal secundária. Nasmatrizes de ordem 3 x 3 utilizamos a regra de Sarrus descrita anteriormente.

Demonstração geral da Regra de Sarrus.

PRINCIPAIS PROPRIEDADES SOBRE DETERMINANTES

As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:

1ªpropriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linhaou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ªpropriedade

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ªpropriedade

Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a2ª linha.

4ªpropriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então det P´= 2 * det P

5ªpropriedade
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a
Ser multiplicado por k.det(k*A)=kn*detA

6ªpropriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).

detR=ps --qr

detRt=ps–rq

7ªpropriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.

8ªpropriedade

O determinante de uma matriz triangular éigual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ªpropriedade
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = det (A) * (det B), conforme teorema de Binets.

10ªpropriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma...
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