Matriz

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  • Publicado : 26 de março de 2013
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Dada uma matriz quadrada  A,  se existir outra matriz  B  da mesma ordem que verifique: A . B = B . A = I  onde ( I é a matriz identidade ).
Dizemos que  B  é a matriz inversa de  A  e representamos por  A-1.
 Algumas propriedades das matrizes inversas
(A−1)−1 = A  |   |
(AB)−1 = B−1 A−1  |   |
(AT)−1 = (A−1)T  |   |
 
Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa de  A, dizemos que a matriz  A  é inversível ou regular ou não singular. Caso contrário, dizemos que a matriz  A  é singular.
 
Quando é que uma matriz A tem inversa?
Uma matriz  A  de ordem  n  (nlinhas e n colunas) tem inversa quando seu determinante é diferente de zero  ou também quando seu posto é  n, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com sua ordem.
 
Como podemos calcular ainversa de uma matriz? Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes:
 
1º Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes.Este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 .
2º Pelo método de Gauss.
3º Por determinantes e cofatores.
 
Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss (escalonamento)O próximo teorema fornece a melhor forma de "visualizar" uma matriz inversível, e o teorema leva imediatamente a um método para se determinar a invrsa de uma matriz.
Teorema
Uma matriz  éinversível se e somente se  é linha equivalente a  e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma   em  também transforma  em 
Se posicionarmos as matrizes  e  lado a lado, de modo aformar uma matriz completa  então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em  e  Pelo Teorema acima, ou existem operações elementares  que transformam  em  e  em  ou,  não éinversível.
Um algoritmo para determinar 
Escalone a matriz completa    Se  for equivalente por linha a  então   é equivalente por linha a Caso contrário,  não tem inversa.
No exemplo que segue...
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