Matriz

Dada uma matriz quadrada A, se existir outra matriz B da mesma ordem que verifique: A . B = B . A = I onde ( I é a matriz identidade ).
Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1. Algumas propriedades das matrizes inversas (A−1)−1 = A | | (AB)−1 = B−1 A−1 | | (AT)−1 = (A−1)T | | Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a matriz A é inversível ou regular ou não singular. Caso contrário, dizemos que a matriz A é singular. Quando é que uma matriz A tem inversa?
Uma matriz A de ordem n (n linhas e n colunas) tem inversa quando seu determinante é diferente de zero ou também quando seu posto é n, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com sua ordem. Como podemos calcular a inversa de uma matriz? Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes: 1º Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes. Este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 .
2º Pelo método de Gauss.
3º Por determinantes e cofatores. Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss (escalonamento)
O próximo teorema fornece a melhor forma de "visualizar" uma matriz inversível, e o teorema leva imediatamente a um método para se determinar a invrsa de uma matriz.
Teorema
Uma matriz é inversível se e somente se é linha equivalente a e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma em também transforma em
Se posicionarmos as matrizes e lado a lado, de modo a formar uma matriz completa então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em e Pelo Teorema acima, ou existem operações elementares que transformam em e em ou, não é inversível.
Um algoritmo para determinar
Escalone a matriz completa Se for equivalente por linha a então é equivalente por linha a Caso contrário, não tem inversa.
No exemplo que segue são