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Coordenadas Curvilíneas
Fundamentos da Eletrostática
Aula 04
Coordenadas Curvilíneas, Lei de
Gauss e Função Delta

Até agora, usamos sempre o sistema de coordenadas cartesiano,
ou seja:

dados três eixos perpendiculares no espaço, representamos

um ponto

P

pelas três projeções (coordenadas) deste ponto sobre

cada eixo coordenado, ou seja,

P = (x, y, z ) .

Prof. Alex G.Dias
Prof. Alysson F. Ferrari

Esta não é a única forma de especicar um ponto no espaço.
Podemos, por exemplo, considerar a esfera centrada na origem passando por

P.

A posição de

P

na esfera pode ser representada por

dois ângulos (latitude e longitude). Conhecendo o raio
pode-se igualmente especicar o ponto

P

R

da esfera,

através destes três números,

P = (R,latitude, longitude) .

Dependendo da simetria do problema que consideramos, o tratamento é muito simplicado se adotamos um sistema de coordenadas
adequado.

Note que os

resultados

que obtemos não dependem do

sistema de coordenadas que escolhemos para trabalhar: geralmente,
o

grau de diculdade

para chegar a estes resultados varia muito. Na

prática, portanto, escolher osistema de coordenadas adequado já é
um passo muito importante para a solução do problema.

NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1

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1

Coordenadas polares esféricas

Um vetor

P

qualquer pode ser escrito, portanto, de duas formas

ˆ
ˆ
ˆ
P = Pxx + Py y + Pz z
ˆ
ˆ
= Pr ˆ + Pθ θ + Pφφ
r

Em coordenadas cartesianas:

P =(x, y, z ) .

onde os vetores unitários

ˆ, θ


e

ˆ
φ

são mutualmente ortogonais e

apontam na direção de crescimento das respectivas variáveis, e
Já em coordenadas esféricas, escrevemos

P = (r, θ, φ) ,

Px = |P| sin θ cos φ
Py = |P| sin θ sin φ
Pz = |P| cos θ

onde
Diferentemente do caso cartesiano, os

•r

é a distância de

P

•θ

é o ângulo da linha queune

vetores unitários

até a origem do referencial,

P

z

positivo

ˆ = ˆ (r, θ, φ)
rr

(ângulo polar),

de

P

ˆˆ
θ = θ (r, θ, φ)
no plano

ˆˆ
φ = φ (r, θ, φ)

A relação entre coordenadas esféricas e cartesianas é dado por:

z = r cos θ
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ

Para encontrar os vetores

ˆ
θ (r, θ, φ)

0≤r≤∞
0≤θ≤π
0 ≤ φ ≤ 2π

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de posi-

ção para posição, ou seja,

à origem com o eixo

• φ é o ângulo da linha que une a origem à projeção
xy , com o eixo x positivo (ângulo azimutal).

ˆ, θ e φ variam
rˆ ˆ

é paralelo
ao próprio
2

ˆ (r, θ, φ),
r
ˆ
φ (r, θ, φ)

ˆ
φ (r, θ, φ), note:
ao plano xy e perpendicular
vetor P; consequentemente, é

e

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3

p erpendicular à projeção de

P

no plano

xy :

Para encontrar

ˆ
θ (r, θ, φ),

ˆ
ˆ
θ (r, θ, φ) = φ (r, θ, φ) × ˆ (r, θ, φ)
r

ˆ
ˆ
Pxy = Pxx + Py y
ˆ
ˆ
= r sin θ cos φx + r sin θ sin φy

Ou seja,

ˆ
φ (r, θ, φ)

note que

=

ˆ
ˆ
ˆ
x
y
z
− sin φ
cos φ
Az
sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ

é da forma
e daí

ˆ
ˆ
ˆˆˆ
φ (r, θ, φ) = φx (r, θ, φ) x + φy (r, θ, φ) y
e é perpendicular a

Pxy ,

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
θ (r, θ, φ) = cos θ cos φx + cos θ sin φy − sin θz

isto é

ˆ
ˆ
ˆ
φ (r, θ, φ)·Pxy = φx (r, θ, φ) r sin θ cos φ+φy (r, θ, φ) r sin θ sin φ = 0

ˆ
φ (r, θ, φ = 0) = +ˆ , já que
y
ˆ
eixo dos x, e φ (r, θ, φ) = 1. A

φ

além disso, deve valer

o ângulo

é

medido a partir do

únicasolução

Deslocamentos innitesimais:

possível é

ˆ
ˆ
ˆ
φ (r, θ, φ) = − sin φx + cos φy



magnitude

O vetor

ˆ (r, θ, φ)
r

está na mesma direção de

P

e tem módulo

1,

ˆ (r, θ, φ) = sin θ cos φx + sin θ sin φy + cos θz
ˆ
ˆ
ˆ
r
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dr

4



uma variação



daí imediatamente,

dr

uma variação...
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