Matimaticas

3172 palavras 13 páginas
Coordenadas Curvilíneas
Fundamentos da Eletrostática
Aula 04
Coordenadas Curvilíneas, Lei de
Gauss e Função Delta

Até agora, usamos sempre o sistema de coordenadas cartesiano, ou seja:

dados três eixos perpendiculares no espaço, representamos

um ponto

P

pelas três projeções (coordenadas) deste ponto sobre

cada eixo coordenado, ou seja,

P = (x, y, z ) .

Prof. Alex G. Dias
Prof. Alysson F. Ferrari

Esta não é a única forma de especicar um ponto no espaço.
Podemos, por exemplo, considerar a esfera centrada na origem passando por

P.

A posição de

P

na esfera pode ser representada por

dois ângulos (latitude e longitude). Conhecendo o raio pode-se igualmente especicar o ponto

P

R

da esfera,

através destes três números,

P = (R, latitude, longitude) .

Dependendo da simetria do problema que consideramos, o tratamento é muito simplicado se adotamos um sistema de coordenadas adequado. Note que os

resultados

que obtemos não dependem do

sistema de coordenadas que escolhemos para trabalhar: geralmente, o grau de diculdade

para chegar a estes resultados varia muito. Na

prática, portanto, escolher o sistema de coordenadas adequado já é um passo muito importante para a solução do problema.

NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1

NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1

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Coordenadas polares esféricas

Um vetor

P

qualquer pode ser escrito, portanto, de duas formas

ˆ
ˆ
ˆ
P = Pxx + Py y + Pz z
ˆ
ˆ
= Pr ˆ + Pθ θ + Pφφ r Em coordenadas cartesianas:

P = (x, y, z ) .

onde os vetores unitários

ˆ, θ rˆ e

ˆ φ são mutualmente ortogonais e

apontam na direção de crescimento das respectivas variáveis, e
Já em coordenadas esféricas, escrevemos

P = (r, θ, φ) ,

Px = |P| sin θ cos φ
Py = |P| sin θ sin φ
Pz = |P| cos θ

onde
Diferentemente do caso cartesiano, os

•r

é a distância de

P

•θ

é o ângulo da linha que

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