Materias isolantes e acusticos

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Capítulo 6

TEOREMA DE GREEN
Nesta seção apresentaremos uma versão simplificada de um dos teoremas clássicos da Análise Vetorial, o teorema de Green. Utilizaremos alguns argumentos intuitivos aceitavéis, que formulados rigorosamente fogem dos objetivos destas notas.

Definição 6.1. Uma região fechada e limitada D ⊂ R2 é simples se ∂D = C é uma curva fechada simples.

C
C

D

D

Figura6.1: A região à esquerda não é simples; a da direita é simples.. Notamos que, em geral, uma região simples pode ser bastante "complicada". A seguir daremos a idéia intuitiva (imprecisa) de como orientar a curva ∂D

Definição 6.2. A curva C = ∂D está orientada positivamente se é percorrida no sentido anti-horário. (D fica à esquerda, ao se percorrer ∂D = C). 143

144

CAPÍTULO 6. TEOREMA DEGREEN

D

D

C+

C



Figura 6.2: Regiões orientadas. Teorema 6.1. (Green) Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, D uma região simples, C = ∂D orientada positivamente, tal que D ⊂ A e F : A −→ R2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções coordenadas (F1 , F2 ). Se C = ∂D tem uma parametrização de classe C 1 por partes e está orientada positivamente em relação a D, então: F =
∂D D∂F2 ∂F1 − dx dy ∂x ∂y

Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas elementares. Corolário 6.2. Nas hipóteses do teorema de Green, se F é um campo conservativo, então F =0
∂D

A prova segue diretamente do teorema de Green. Corolário 6.3. Nas hipóteses do teorema de Green, a área da região D é dada por: A(D) =
∂D

x dy

ou ii)A(D) = − ou A(D) =1 2
∂D

y dx
∂D

x dy − y dx

Prova: Basta considerar o campo F (x, y) = (−y, x) e aplicar o teorema de Green para obter: A(D) = 1 2 x dy − y dx.

∂D

145 Exemplo 6.1. [1] Utilizando o teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha: 1.
γ



y dx +



x dy, onde γ é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2 , no

sentido anti-horário. 2.
γanti-horário. 1. F1 (x, y) =

y dx + x2 dy, onde γ é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e 2 y − x = 0, no sentido √ 1 1 1 ∂F2 ∂F1 √ √ − √ ; então, y e F2 (x, y) = x; logo: − = ∂x ∂y 2 y x √
γ

y dx +



x dy =

1 2

D

1 1 √ − √ dx dy, y x

onde D é a região de tipo I: D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 }.
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.81.0

Figura 6.3: Exemplo [1].

1 2 Logo:

D

1 1 1 √ − √ dx dy = y 2 x √ y dx + √ x dy = − 3 . 10

1 0 0

x2

1 1 1 ( √ − √ ) dy dx = y 2 x

1 0

x 2 − 2 x dx = −

3

3 . 10

γ

2. F1 (x, y) = y e F2 (x, y) = x2 ; logo:

∂F2 ∂F1 − = 2 x − 1; então, ∂x ∂y (2 x − 1) dx dy, x }. 2

y dx + x2 dy =
γ D

onde D é a região de tipo I: D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤y ≤

146
2.0

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE GREEN

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 6.4: Exemplo [2]. Logo,
2

y dx + x dy =
γ D

2

(2 x − 1) dx dy =

x 2

2

0

0

(2 x − 1) dy dx =

0

(x2 −

5 x ) dx = . 2 3

[2] Calcule
γ

ex sen(y) dx + (ex cos(y) + x) dy, onde γ é o círculo de raio 1 centrado na origem,

no primeiro e segundoquadrantes.
γ

1

Figura 6.5: Exemplo [2] O teorema de Green não pode ser aplicado, pois a curva não é fronteira de uma região fechada. Para poder aplicar o teorema de Green, consideramos a seguinte curva β = γ ∪γ1 , diferenciável por partes, orientada no sentido anti-hórario, como no seguinte desenho:

Figura 6.6:

147 A região D é tal que ∂D = β. Aplicamos o teorema de Green considerando a curvaβ. Sejam F1 (x, y) = ex sen(y) e F2 (x, y) = ex cos(y) + x; logo, ex sen(y) dx + (ex cos(y) + x) dy =
β D

∂F2 ∂F1 − = 1; então: ∂x ∂y dx dy = A(D),

onde A(D) =

π é a área do semi-círculo de raio 1. Por outro lado: 2 F =
β γ

F+
γ1

F;

logo, F =
γ

π − 2

F.
γ1

Só falta calcular
γ1

ex sen(y) dx + (ex cos(y) + x) dy , onde γ1 é o segmento de reta entre os...
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