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Resistência dos Materiais – Estado plano de tensão________________________________________

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ DISCIPLINA: Resistência dos materiais Professor: Vladimir J. Ferrari

Aula: Estado plano de tensão
1-Introdução As tensões em uma viga são dadas pela fórmula de flexão e pela fórmula de cisalhamento (σ=My/I e τ=VQ/Ib), e as tensões nos eixos são dadas pela fórmulade torção (τ=Tρ/J). Essas tensões atuam em seções transversais dos elementos, porém tensões maiores podem ocorrer em seções inclinadas. Por isso, vamos começar nossa análise de tensões e deformações discutindo métodos para encontrar as tensões normal e de cisalhamento agindo em seções inclinadas de um elemento. 2-Tensão plana Considere o elemento de tensão ilustrado na Figura 1. Esse elemento éinfinitesimal em tamanho e pode ser esboçado por um cubo ou por um paralelepípedo retangular. Os eixos xyz são paralelos às arestas do elemento, e as faces do elemento são designadas pelas direções de suas normais. Por exemplo, a face direita do elemento é referida como a face x positiva, e a face esquerda é referida como face negativa x. Similarmente, a face superior y é positiva, e a face frontalé a face z positiva.

Figura 1 – Elemento em tensão plana: a)vista 3D, b)vista 2D, c)vista 2D de um elemento segundo os eixos x1,y1,z1

Quando o material está em tensão plana no plano xy, apenas as faces x e y do elemento estão submetidas a tensões, e todas as tensões atuam paralelamente aos eixos x e y (Figura 1-a). Significados dos símbolos indicados na Figura 1: • A tensão normal σ tem umsubscrito que identifica a face em que a tensão atua (σx atua na face x do elemento). Uma vez que o elemento é infinitesimal em tamanho, tensões normais iguais atuam em faces opostas; • Convenção de sinal para tensões normais: tração é positiva e compressão é negativa; • A tensão de cisalhamento τ possui dois subscritos – o primeiro representa a face em que a tensão atua e o segundo a direçãonessa face (a tensão τxy atua na face x na direção do eixo y);

Resistência dos Materiais – Estado plano de tensão________________________________________

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• Convenção de sinal para tensão de cisalhamento: positiva quando atua em uma face positiva de um elemento na direção positiva do eixo e, negativa quando atua na face positiva de um elemento na direção negativa de um eixo (uma tensão decisalhamento é positiva quando as direções associadas com seus subscritos for mais-mais ou menos-menos; e negativa quando as direções forem mais-menos ou menos-mais). 2.1-Igualdade de tensões e cisalhamento em planos perpendiculares Para obter uma visão mais complexa da ação de tensões de cisalhamento, vamos considerar um pequeno elemento de material na forma de um paralelepípedo retangular comlados de comprimento a, b e c nas direções x, y e z, respectivamente (Figura 2). As faces posterior e anterior desse elemento estão livres de tensão.

Figura 2 – Elemento de material submetido a tensões de cisalhamento

A tensão τ1 está uniformemente distribuída sobre a face direita, que tem área BC. Para que o elemento esteja em equilíbrio na direção y, a força de cisalhamento τ1bc atuando naextremidade direita deve ser balanceada por uma força igual, mas com direção oposta na face da extremidade esquerda. Uma vez que as áreas dessas duas faces são iguais, as tensões de cisalhamento nas duas faces devem ser iguais. As forças τ1bc atuando nas faces extremas esquerda e direita formam um binário tendo um momento sobre o eixo z de magnitude τ1abc, no sentido anti-horário da figura. Para oequilíbrio, é necessário que esse momento seja balanceado por momentos criados por tensões de cisalhamento iguais, mas opostas, nas faces superior e inferior do elemento. Denotando as tensões nas faces superior e inferior como τ2, vemos que as forças de cisalhamento horizontal correspondentes são iguais a τ2ac. Essas forças formam um binário de momentos τ2abc no sentido horário. Do equilíbrio de...
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