Materiais e métodos

DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS

A derivada de uma função implícita é feita pelo método da diferenciação implícita, segundo o qual derivamos cada termo da equação em relação a x. Ao aplicar a diferenciação implícita, é muitas vezes necessário considerar Dx(yn) para alguma função desconhecida y de x, digamos y = f(x). Pela regra da potência podemos escrever D x(yn) em qualquer uma das seguintes formas: Dx(yn) = n yn-1 Dx(y) = n yn-1y’ = ny n 1  dy dx

Como a variável dependente y representa a expressão f(x), é essencial multiplicar n yn-1 pela derivada y’ ao diferenciarmos y em relação a x. Assim, Dx(yn)  n yn-1, a menos que y = x. Por exemplo, a equação 2 x  3 y  1 pode ser resolvida em função de x obtendo-se y 
1 2x  3 3

2 , o que acarreta y´  . O mesmo resultado pode ser obtido diretamente da equação original 3
2 x  3 y  1 simplesmente pela derivação de ambos os lados termo a termo, obtendo então

2 2  3 y´ 0 e, em seguida, determinando y´  . A última técnica é denominada derivação 3

implícita.

Processo para derivação implícita Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função diferenciável de x, calcula-se y´ do seguinte modo: a) Derive ambos os membros da equação em relação a x, isto é, aplique o operador aos dois membros da equação termo a termo. b) Isole y´ d dx

Exemplos: 1) Encontre a derivada genérica da função implícita y 2  x 2  0 .

Resposta: y´  x . y 2) Encontre a derivada implícita da função implícita:

y – 2x² = -3.

Resposta:

y’ = 4x

3) Encontre a derivada implícita da função implícita:

y4 + 3y – 4x3 = 5x + 1.

Resposta:

y' 

12 x 2  5 4y3  3

4) Encontre a derivada genérica da função implícita y 2  yx 2  cosx   2 .

Resposta: y´

2 xy  sen x  2y  x2

5) Determine, se existir, a equação de uma reta tangente e normal à curva C: x² + xy + y² = 3 no ponto que x = 1.

Resposta: A equação da reta tangente em (1 , 1) é: yn = -x + 2

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