Matemática

Integração Numérica
Prof. Mônica Dâmaris de S. Zanardini

Idéia Geral Dos Métodos de
Integração Numérica
A integração numérica é uma técnica comumente empregada na determinação de uma integral definida, cuja função ou “não é disponível” ou “não possui uma solução analítica”. Ela consiste na aproximação de uma integral definida Definições Iniciais
Do Cálculo Diferencial e Integral se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], então esta função tem uma primitiva F(x) neste intervalo, ou seja, F`(x)=f(x). Assim:
𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎

Exemplo de integral fácil de calcular:
2
0

2𝑥 𝑑𝑥 = 2.2 − 0.0 = 4, pois F(x)=𝑥 2

Mas nem toda integral definida se obtém facilmente.
Exemplo:

2

𝑒

−𝑥 2

𝑑𝑥

0

Uma forma de obter aproximações para a integral de f(x) em um intervalo [a,b] é através dos métodos numéricos.

Forma Geral
A idéia básica da integração numérica é substituir a função f(x) por um polinômio que aproxime razoavelmente no intervalo [a,b].
As fórmulas serão representadas pela expressão:
𝑏
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴0 𝑓 𝑥0 + 𝐴1 𝑓 𝑥1 +𝐴2 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝐴

𝑚

𝑓 𝑥

Onde
𝑥 𝑖 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑚
Os métodos se diferenciam pela escolha de 𝐴0 , 𝐴1 , … , 𝐴 𝑚 .

𝑚

Regra do Trapézio Interpretação
Gráfica

A Regra dos Trapézios consiste em se aproximar o valor da função contínua de f(x) no intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, é equivalente a aproximar uma curva qualquer por uma reta, conforme mostra a figura. Desta forma, a área sob a função f(x), que é equivalente à integral dessa função, é aproximada pela área do trapézio cuja largura é igual a (b – a) e a altura média igual a [f(a) + f(b)]/2.

Regra dos Trapézios: Expressão
A área exata da região é dada por:
𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎

Aproximando a integral definida através do cálculo da área do trapézio ∶
𝑏
𝑎

ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
2

Tal que ℎ =