Matemática aplicada

MATEMÁTICA APLICADA
Etapa 4 – Passo 3

No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por: ou por

Definição Formal
Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto dos números reais e seja f uma função de I em (função esta que é formalmente denotada por ) . Se o ponto (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite e o mesmo for finito
,
onde .
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.
Funções com valores em R
Se for um intervalo de R com mais do que um ponto e se for uma função de em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
(ou seja: uma função que a cada x do domínio em responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é (cosx,senx)). é derivável e

De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Diferenciabilidade
Derivabilidade num ponto
Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e seja uma função de em R derivável em . Então é contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
Seja um intervalo de R com