Matematica

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Matemática
Professor CLÍCIO Freire Aula 99

Exemplo: B = (3x–2y)4 (onde a = 3x, b = –2y e n = 4 [grau do binômio]). Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton : a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5 O desenvolvimento do binômio de Newton (a+b)7 será: (a + b)7= a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7 Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5)? Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a, que é igual a 3, e dividimos o resultado pela ordem do termo, que é 5. Então 35 . 3 = 105 ev dividindo por 5 (ordem do termo anterior), vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sextotermo, conforme se vê acima. Observações: 1. o desenvolvimento do binômio (a+b)n é um polinômio. 2. o desenvolvimento de (a+b)n possui n+1 termos . 3. os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (a+b)n, são iguais. 4. a soma dos coeficientes de (a+b)n é igual a 2n. Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n,sendo p um número natural, é dado por onde é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Esse número é também conhecido como Número Combinatório.

Análise combinatória
Parte 01 – Fatorial e Número binomial Fatorial A fim de simplificar as fórmulas do número de arranjos e donúmero de permutações, bem como outras que iremos estudar, vamos definir o símbolo fatorial.

Seja m um número inteiro não negativo (m∈IN). Definimos fatorial de m por meio da relação: m! = m.(m – 1).(m – 2).....3.2.1, para m≥2, onde 1! = 1 e 0! = 1 Exemplo: Resolva (n–4)! = 120 (n–4)! = 5! → n–4 = 5 → n = 9 Aplicação 01 Obtenha n, tal que (n–1)! =24 Solução: (n–1)! = 24 → (n–1)! = 4! → n–1 = 4→ n = 5 Aplicação 02 Simplificando a) 2 d) n.(n+2) Solução: b) , obtém-se: c) (n+1).(n+2) e) n.(n+1).(n+2)

01. (Fuvest) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3,..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todosos 6(sena) números sorteados. Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena, a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? b)Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? 02. (Unesp) Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}. 03. Calcular o número de anagramas da palavra FUVEST que iniciam com vogal. 04. (Unicamp) Sabendo que números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantosdiferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos. 05. (Unesp) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é:
a) 21 d) 90 b) 30 e) 120 c) 60

NúmeroBinomial (np) = 0; se n < p ; Cn,p = (np) = n! / p! (n–p)! ; se n > p ; n – numerador binomial; p – denominador binomial; Ex: (85) = 8! / 5!(8!–5!) = 8.7.6.5! / 5!. 3.2.1 = 56 Propriedades dos números binomiais (n0) = 1 : Se, em um número binomial, o denominador é igual a zero, então ele será igual a 1; (n1) = n : Se, em um número binomial, o denominador for igual a 1, então ele será igual ao...
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