Matematica

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MATRIZES

EXEMPLO: Suponha que num fabricante tenha quatro fábricas, cada uma delas (Produção) produzindo três produtos. Se definirmos aij como o número de unidades do produto então a matriz 4 × 3

i

produzido pela fábrica

j

em uma semana,

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4

Produto 1 Produto 2 Produto 3 560 340 280 360 450 270 380 420 210 0 80 380

mostra a produção do fabricante porsemana. Por exemplo, a fábrica 2 produz 270 unidades do produto 3 em uma semana.

MATRIZES

EXEMPLO (Sensação Térmica): A tabela de resfriamento do ar, a seguir, mostra como uma combinação de temperatura do ar e velocidade do vento faz uma pessoa sentir mais frio do que a temperatura real. Por exemplo, quando a temperatura é de 10°C e o vento está a 15 km/h, isto provoca uma perda de calor pelocorpo igual a quando a temperatura está a – 18°C sem vento.

°C Km/h 5 10 15 20 15 12 –3 – 11 – 17 10 7 –9 – 18 – 24 5 0 – 15 – 25 – 31 0 –5 – 22 – 31 – 39 –5 – 10 – 27 – 38 – 46 – 10 – 15 – 34 – 45 – 53

Esta tabela pode ser representada pela matriz

7 0 −5 −10  5 12 10 −3 −9 −15 −22 −27  15 −11 −18 −25 −31 −38   20 −17 −24 −31 −39 −46

−15  −34   −45   −53

MATRIZES DEFINIÇÃO: Umamatriz A, m × n , é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexos) distribuídos em m linhas horizontais e n colunas verticais:

Am×n

 a11 a  21  =  ai1    am1 

a12 a22 ai 2 am 2

a1 j a2 j aij amj

a1n  a2 n     ain    amn  
j-ésima coluna

i-ésima linha

(1 ≤ i ≤ m )

(1 ≤
ou, em uma notação mais sucinta

j ≤ n)

A =  aij   
dizemos que

m×n

aij

são as entradasda matriz, onde

i

corresponde a linha e

j

a

coluna de cada entrada.

Tipos de Matrizes

Matriz quadrada de ordem n – quando m = n . Exemplos:

1 −2 0  Q3×3 =  3 0 1  ,   4 5 6  

M 5×5

1 2 3 4 6 7 8 9  = 11 12 13 14  16 17 18 19  21 22 23 24 

5 10   15   20  25 

ou

A1×1 = [8]

Matriz nula é aquela em que aij = 0 , para todo i e Exemplos:

j.

A2×2

0 0  =  00 

e

B3×5

0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  
B3×5 = 0

A2×2 = 0
Matriz linha e Matriz coluna Matriz linha 1 × n . Matriz coluna n × 1 . Exemplos:

e

também são chamadas de vetor de dimensão n

u = [1 2 −1 0]
é um vetor de dimensão 3.

1 v =  −1 é um vetor de dimensão 3.   3  

Matriz Diagonal é uma matriz quadrada A =  aij   

n×n

em que aij = 0 para i ≠ j ,

istoé, todo elemento fora da diagonal principal é nulo. Exemplos:

7 0 0  G = 0 1 0     0 0 −1  

e

3 0 H = 0  0

0 0 0 3 0 0  0 3 0  0 0 3

Matriz Identidade é aquela A =  aij    Exemplos:

(

n×n

) em que a
e

ii

= 1 e aij = 0 para i ≠ j .

1 0 0  I 3 = 0 1 0   0 0 1   

1 0  I2 =   0 1 

Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada, em que todos oselementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, A =  aij   
n×n

( m = n ) e aij = 0 para

i > j.
Exemplos:

 2 −1 0  D3×3 =  0 −1 4    0 0 3  

e

F2×2

a b =  0 c 

Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada, em que todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, A =  aij   
n×n

( m = n ) e aij = 0 para

i < j.
Exemplos:

M 4×4

2 0 1−1 = 1 2  1 0

0 0 0 0  2 0  5 4

e

5 0 0 N 3×3 = 7 0 0    2 1 3  

Matriz Simétrica é aquela A =  aij    Exemplos:

(

n×n

) em que a

ij

= a ji .

 4 3 −1 T3×3 =  3 2 0     −1 0 5   

e

S4×4

a b = c  d

b e f g

c f h i

d g  i  k

Matriz Transposta é obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.

 1  Exemplo: Seja a matriz A =  −3 2 

2  5 0  3×2 
2  0  2×3

1 −3 a sua transposta é A =  2 5

Exemplo(simétrica/transposta): Distância em quilômetros entre cidades

Lavras Belo Horizonte São Paulo Rio de Janeiro Lavras Belo Horizonte São Paulo Rio de Janeiro 0 230 370 420 230 0 586 440 370 586 0 429 420 440 429 0

 0 230 370 420   230 0 586 440   A= 370 586 0 429     420 440 429 0  4×4

Observe...
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