Matematica

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Análise Matemática I











Trabalho 3











Elaborado por:

















16 de Novembro de 2012


3. Considere um corredor com 4m de larguraque acaba num outro corredor perpendicular, com 2m de largura.

a) - Determine o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente de um corredor para o outro (deverá usar funçõestrigonométricas e desprezar o raio da vara).

Analisando a figura 1, verificámos que o comprimento desejado será C=C1 +C2.

[pic]
Pelos triângulos semelhantes vemos que:
[pic]


Expressõesequivalentes, visto que o nosso objetivo é calcular C
[pic]

Gráfico de apoio para execução das nossas questões:
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Dando origem à expressão final da função:
[pic]
[pic]
Vamos derivar anossa função para verificar qual o valor máximo de x:
[pic]
Para facilitar os cálculos vamos utilizar as expressões equivalentes:
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sec – secante csc – cosecante
ou seja:[pic]

Utilizando as regras de derivação:
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[pic]
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[pic]
[pic]

[pic]

Igualando a derivada da função a 0:
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Após a análise dos vários resultados, a raiz pararesolução da questão é:
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Iremos calcular a segunda derivada para analisar o nosso ponto critico [pic]
[pic]

Substituindo [pic]
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Como a derivada no ponto crítico é positiva e sendo oúnico ponto crítico, verificamos que o mínimo valor absoluto (real), ou seja, o comprimento máximo da vara será:
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Conclusão:
O comprimento máximo de uma vara transportada na horizontalperante os dados da questão será de 8.32m.


b) – E se for um tronco com 10cm de raio?

Perante este novo dado (raio =10cm) e voltando a analisar a questão recordando a nossa função inicial a qualdesprezamos o diâmetro da vara:

[pic]

[pic]





Houve a necessidade de colocar mais uma restrição, ou seja, para transportar o tronco com 10cm de raio, na horizontal a nossa função...
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