Matematica

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M1 - Geometria Métrica Plana
36 (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices
A, B, C, D, conforme a figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figura 2).
Seja Dδ esta nova posição do vértice D e x a distância de
A a Dδ.
D

C

38

(São Camilo-SP) A razão entre a altura de um triânguloisósceles ABC de lados AB = AC = 5 cm e BC = 8 cm
e sua área é:
1
1
b)
c) 2
d) 4
e) 1
X a)
4
2
Fazendo a figura, vem:

A
5
4

B

A

B

A



x

Figura 1

B

Figura 2

A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
− x 3 0 441 x
441 − x 2
a) A =
X d) A =
42
84
x 3 − 441 x
441 − x 2
b) A =
e) A =
42
84
− x 3 0 441 x
c) A =84

21 − a

a

A

x



Usando Pitágoras, temos:
(21 − a)2 = a2 0 x2 Θ 441 − 42a 0 a2 = a2 0 x2
x2 = 441 − 42a
42a = 441 − x2

• Cálculo da altura h:
52 = h2 0 42 Θ h2 = 25 − 16
h2 = 9
h = 3 cm
• Cálculo da área do triângulo ABC:

A=

BC 9 AD
893
ΘA=
2
2
A = 12 cm2

Portanto:

h
h
3
1
=
Θ
=
A
A
12
4

441 − x
42

Fazendo a figura, temos:
A
P

236

A área do triângulo é:
A=

x9a
ΘA=
2

C

(USS-RJ) O lado AB de um triângulo ABC mede
36 cm. Os pontos P e Q pertencem aos lados CA e CB,
respectivamente. O segmento PQ é paralelo a AB e as áreas do triângulo CPQ e do trapézio PABQ são iguais. O comprimento PQ é de:
X c) 18 2 cm
a) 3 2 cm
e) 18 cm
b) 9 cm
d) 6 cm

B

x9

4
D
8

39

Da figura, temos:

a=

5h

441 − x 2
42
2

x
ΘA=

441x − x
84

3

B

Q

C

#CPQ Κ #CAB

37

(UFG) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12 cm2, sabendo que a medida
de seus lados são números inteiros.
Fazendo a figura e observando os dados
do problema, tem-se:

44
2
12313

Perímetro: 2x 0 2y = 18 Π x 0 y = 9
Área: hy = 12
Pitágoras: h2 = x2 − y2 = 9(x − y)x

h

x

2y

x=9−y
Υ (9 − 2y)y2 = 16
9(x − y)y2 = 144

PQ
x
=
(razão de semelhança)
36
AB

Razão das áreas:

Área do #CPQ
A
A
1
=
=
=
Área do #CAB
A0A
2A
2
Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos:

x
1
=

 36 
2

2

Θ

1
x2
=
2
1 296
x2 = 648

x = 18 2

Sendo y um número inteiro positivo e menor que 9, oúnico valor possível
é y = 4; logo, x = 5. Portanto, o triângulo tem um lado medindo 8 cm e os
outros lados medindo 5 cm.

Matemática

121

40 (Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela
planta retangular, de 10 m Ο 20 m, pagando R$ 50 000,00.
Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas
do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é a real. Pode-se concluir queo prejuízo do casal
foi de:
b
a
a
a) R$ 2 000,00
b) R$ 5 000,00
c
X c) R$ 7 000,00
a=1m
b=9m
d) R$ 9 000,00
c
c = 19 m
e) R$ 11 000,00

42

(FGV-SP)
a) Num triângulo eqüilátero ABC, unindo-se os pontos
médios de i e de o, obtém-se um segmento de medida igual a 4 cm. Qual a área do triângulo ABC?
b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa p, a
altura relativa à hipotenusaé 6. Se BH = 3 cm e
HC = 8 cm, qual a medida do cateto o?

a)

Sejam σ a medida do lado do triângulo
eqüilátero ABC, M o ponto médio do lado
i e N o ponto médio do lado o.
I. Como MN = 4 cm, temos σ = 8 cm,
pois os triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança
é 1 : 2.
II. Sendo S a área do triângulo ABC, temos:

A

4

M

N

a
a

b

9

• Cálculo do valordo metro quadrado do terreno:
50 000,00
= 250,00 /m 2 Θ R $ 250,00 / m 2
10 9 20

1

1

19
20

19

1
1

9

σ

B

Pelos dados, temos:

C

S=

3
4

=

82

Ι S = 16 3 cm

b)

3
4

Υ S = 16 3

2

A
No triângulo retângulo ABC,
temos:
(AC)2 = HC 9 BC
(AC)2 = 8 9 11

• Cálculo da área real do terreno:
1 9 19
19 9
A = 10 9 20 − 2 9
−29
2
2
A...
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