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M1 - Geometria Métrica Plana
36 (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices
A, B, C, D, conforme a figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figura 2).
Seja Dδ esta nova posição do vértice D e x a distância de
A a Dδ.
D
C
38
(São Camilo-SP) A razão entre a altura de um triânguloisósceles ABC de lados AB = AC = 5 cm e BC = 8 cm
e sua área é:
1
1
b)
c) 2
d) 4
e) 1
X a)
4
2
Fazendo a figura, vem:
A
5
4
B
A
B
A
Dδ
x
Figura 1
B
Figura 2
A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
− x 3 0 441 x
441 − x 2
a) A =
X d) A =
42
84
x 3 − 441 x
441 − x 2
b) A =
e) A =
42
84
− x 3 0 441 x
c) A =84
21 − a
a
A
x
Dδ
Usando Pitágoras, temos:
(21 − a)2 = a2 0 x2 Θ 441 − 42a 0 a2 = a2 0 x2
x2 = 441 − 42a
42a = 441 − x2
• Cálculo da altura h:
52 = h2 0 42 Θ h2 = 25 − 16
h2 = 9
h = 3 cm
• Cálculo da área do triângulo ABC:
A=
BC 9 AD
893
ΘA=
2
2
A = 12 cm2
Portanto:
h
h
3
1
=
Θ
=
A
A
12
4
441 − x
42
Fazendo a figura, temos:
A
P
236
A área do triângulo é:
A=
x9a
ΘA=
2
C
(USS-RJ) O lado AB de um triângulo ABC mede
36 cm. Os pontos P e Q pertencem aos lados CA e CB,
respectivamente. O segmento PQ é paralelo a AB e as áreas do triângulo CPQ e do trapézio PABQ são iguais. O comprimento PQ é de:
X c) 18 2 cm
a) 3 2 cm
e) 18 cm
b) 9 cm
d) 6 cm
B
x9
4
D
8
39
Da figura, temos:
a=
5h
441 − x 2
42
2
x
ΘA=
441x − x
84
3
B
Q
C
#CPQ Κ #CAB
37
(UFG) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12 cm2, sabendo que a medida
de seus lados são números inteiros.
Fazendo a figura e observando os dados
do problema, tem-se:
44
2
12313
Perímetro: 2x 0 2y = 18 Π x 0 y = 9
Área: hy = 12
Pitágoras: h2 = x2 − y2 = 9(x − y)x
h
x
2y
x=9−y
Υ (9 − 2y)y2 = 16
9(x − y)y2 = 144
PQ
x
=
(razão de semelhança)
36
AB
Razão das áreas:
Área do #CPQ
A
A
1
=
=
=
Área do #CAB
A0A
2A
2
Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos:
x
1
=
36
2
2
Θ
1
x2
=
2
1 296
x2 = 648
x = 18 2
Sendo y um número inteiro positivo e menor que 9, oúnico valor possível
é y = 4; logo, x = 5. Portanto, o triângulo tem um lado medindo 8 cm e os
outros lados medindo 5 cm.
Matemática
121
40 (Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela
planta retangular, de 10 m Ο 20 m, pagando R$ 50 000,00.
Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas
do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é a real. Pode-se concluir queo prejuízo do casal
foi de:
b
a
a
a) R$ 2 000,00
b) R$ 5 000,00
c
X c) R$ 7 000,00
a=1m
b=9m
d) R$ 9 000,00
c
c = 19 m
e) R$ 11 000,00
42
(FGV-SP)
a) Num triângulo eqüilátero ABC, unindo-se os pontos
médios de i e de o, obtém-se um segmento de medida igual a 4 cm. Qual a área do triângulo ABC?
b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa p, a
altura relativa à hipotenusaé 6. Se BH = 3 cm e
HC = 8 cm, qual a medida do cateto o?
a)
Sejam σ a medida do lado do triângulo
eqüilátero ABC, M o ponto médio do lado
i e N o ponto médio do lado o.
I. Como MN = 4 cm, temos σ = 8 cm,
pois os triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança
é 1 : 2.
II. Sendo S a área do triângulo ABC, temos:
A
4
M
N
a
a
b
9
• Cálculo do valordo metro quadrado do terreno:
50 000,00
= 250,00 /m 2 Θ R $ 250,00 / m 2
10 9 20
1
1
19
20
19
1
1
9
σ
B
Pelos dados, temos:
C
S=
3
4
=
82
Ι S = 16 3 cm
b)
3
4
Υ S = 16 3
2
A
No triângulo retângulo ABC,
temos:
(AC)2 = HC 9 BC
(AC)2 = 8 9 11
• Cálculo da área real do terreno:
1 9 19
19 9
A = 10 9 20 − 2 9
−29
2
2
A...
36 (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de
quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices
A, B, C, D, conforme a figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figura 2).
Seja Dδ esta nova posição do vértice D e x a distância de
A a Dδ.
D
C
38
(São Camilo-SP) A razão entre a altura de um triânguloisósceles ABC de lados AB = AC = 5 cm e BC = 8 cm
e sua área é:
1
1
b)
c) 2
d) 4
e) 1
X a)
4
2
Fazendo a figura, vem:
A
5
4
B
A
B
A
Dδ
x
Figura 1
B
Figura 2
A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
− x 3 0 441 x
441 − x 2
a) A =
X d) A =
42
84
x 3 − 441 x
441 − x 2
b) A =
e) A =
42
84
− x 3 0 441 x
c) A =84
21 − a
a
A
x
Dδ
Usando Pitágoras, temos:
(21 − a)2 = a2 0 x2 Θ 441 − 42a 0 a2 = a2 0 x2
x2 = 441 − 42a
42a = 441 − x2
• Cálculo da altura h:
52 = h2 0 42 Θ h2 = 25 − 16
h2 = 9
h = 3 cm
• Cálculo da área do triângulo ABC:
A=
BC 9 AD
893
ΘA=
2
2
A = 12 cm2
Portanto:
h
h
3
1
=
Θ
=
A
A
12
4
441 − x
42
Fazendo a figura, temos:
A
P
236
A área do triângulo é:
A=
x9a
ΘA=
2
C
(USS-RJ) O lado AB de um triângulo ABC mede
36 cm. Os pontos P e Q pertencem aos lados CA e CB,
respectivamente. O segmento PQ é paralelo a AB e as áreas do triângulo CPQ e do trapézio PABQ são iguais. O comprimento PQ é de:
X c) 18 2 cm
a) 3 2 cm
e) 18 cm
b) 9 cm
d) 6 cm
B
x9
4
D
8
39
Da figura, temos:
a=
5h
441 − x 2
42
2
x
ΘA=
441x − x
84
3
B
Q
C
#CPQ Κ #CAB
37
(UFG) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12 cm2, sabendo que a medida
de seus lados são números inteiros.
Fazendo a figura e observando os dados
do problema, tem-se:
44
2
12313
Perímetro: 2x 0 2y = 18 Π x 0 y = 9
Área: hy = 12
Pitágoras: h2 = x2 − y2 = 9(x − y)x
h
x
2y
x=9−y
Υ (9 − 2y)y2 = 16
9(x − y)y2 = 144
PQ
x
=
(razão de semelhança)
36
AB
Razão das áreas:
Área do #CPQ
A
A
1
=
=
=
Área do #CAB
A0A
2A
2
Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos:
x
1
=
36
2
2
Θ
1
x2
=
2
1 296
x2 = 648
x = 18 2
Sendo y um número inteiro positivo e menor que 9, oúnico valor possível
é y = 4; logo, x = 5. Portanto, o triângulo tem um lado medindo 8 cm e os
outros lados medindo 5 cm.
Matemática
121
40 (Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela
planta retangular, de 10 m Ο 20 m, pagando R$ 50 000,00.
Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas
do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é a real. Pode-se concluir queo prejuízo do casal
foi de:
b
a
a
a) R$ 2 000,00
b) R$ 5 000,00
c
X c) R$ 7 000,00
a=1m
b=9m
d) R$ 9 000,00
c
c = 19 m
e) R$ 11 000,00
42
(FGV-SP)
a) Num triângulo eqüilátero ABC, unindo-se os pontos
médios de i e de o, obtém-se um segmento de medida igual a 4 cm. Qual a área do triângulo ABC?
b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa p, a
altura relativa à hipotenusaé 6. Se BH = 3 cm e
HC = 8 cm, qual a medida do cateto o?
a)
Sejam σ a medida do lado do triângulo
eqüilátero ABC, M o ponto médio do lado
i e N o ponto médio do lado o.
I. Como MN = 4 cm, temos σ = 8 cm,
pois os triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança
é 1 : 2.
II. Sendo S a área do triângulo ABC, temos:
A
4
M
N
a
a
b
9
• Cálculo do valordo metro quadrado do terreno:
50 000,00
= 250,00 /m 2 Θ R $ 250,00 / m 2
10 9 20
1
1
19
20
19
1
1
9
σ
B
Pelos dados, temos:
C
S=
3
4
=
82
Ι S = 16 3 cm
b)
3
4
Υ S = 16 3
2
A
No triângulo retângulo ABC,
temos:
(AC)2 = HC 9 BC
(AC)2 = 8 9 11
• Cálculo da área real do terreno:
1 9 19
19 9
A = 10 9 20 − 2 9
−29
2
2
A...
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