matematica

EXERCÍCIOS ENVOLVENDO LIMITES E DERIVADAS

1 – ( PUCRS – ENADE 2008) A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula:

y(t) = 10t / (t + 1)², t ≥ 0,

Em qual intervalo essa função é crescente?

(A) t ≥ 0
(B) t > 10
(C) t > 1
(D) 0 ≤ t < 1
(E) ½ < t < 10

Para identificar o intervalo onde a função citada na questão é crescente, é necessário obter sua derivada e, para tanto, será usada a regra de derivação de um quociente. Assim, y’ (t) = (t+1)² . 10 – 20t . ( t + 1 ) / (t+1)4 = - 10t + 10 / (t+1)³. Como a função y(t) está definida para t ≥ 0 vem que (t + 1)³ , tem-se que , y’(t) > 0 quando – 10t + 10 > 0 , isto é, 0 ≤ t < 1. Então, conclui-se que a alternativa correta é a D, excluindo-se as demais alternativas.

2 - ( PUCRS – ENADE 2008) Considere g:  →  uma função com derivada dg / dt contínua e f a função definida por f (x) = ∫x0 dg/ dt (t) dt para todo x ∈ . Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem.
I A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b ∈ , a < b.
II A função f é derivável e sua derivada é a função g.
III A função diferença f - g é uma função constante.

É correto o que se afirma em :
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) I e III, apenas. (E) I, II e III. O problema inverso da derivação consiste em: Dada uma função f:[a, b] → , procurar uma função F:[a, b] → , que seja derivável em [a, b] e tal que F’(x) = f (x), para todo x ∈ [a,b] . Seja f:[a, b] →  uma função integrável. Define-se F:[a, b] →  por: ∫= f (t) dt para todo, x ∈ [a,b]. Conclui-se que é correto o que se afirma em I e III, apenas, o que indica que a resposta certa corresponde à alternativa C.

3 – Calcule :
a)
SOLUÇÃO :

4 – ( ENADE – 2011 ) ALTERNATIVA : B

5 – RESOLVA :

6 - Calcule a derivada da função exponencial:

7 –