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GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Retas, Planos e Distâncias
* Da Lista de exercícios de Álgebra 1 – Retas, Planos e Distâncias (UDESC-CCT-JOINVILLE); * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

Lista: exercício 4. V x + y + z@ 2 = 0 Dada a reta r: como interseção de dois planos, obter a sua equação simétrica. x + 3y @ z @ 2 = 0Solução: Esta não é a única solução, porém é uma das mais fáceis. Para resolver precisamos de conhecimentos sobre planos e retas. 1 – A reta r é dada na forma de interseção, portanto resolvemos o sistema para encontrar a equação da reta ou o ponto, neste caso faremos para o ponto. 2 – Olhe para as equações da reta r, e veja que se fizermos x = 2 , as equações serão simplificadas. r:
V

x + y + z@ 2 =0 x + 3y @ z @ 2 = 0 Q fazendo x = 2 e somando as equações:

2 + y + z @ 2 + 2 + 3y @ z @ 2 = 0 y + z + 3y @ z = 0 4y = 0 [ y = 0
agora substituimos y = 0 na equação e encontramos z também igual à zero quando x = 2 : z=0 [ y=z Essas coordenadas encontradas são um ponto da reta interseção dos planos, portanto P=(2,0,0). Agora só precisamos encontrar o vetor, há várias maneiras, uma delas é oproduto vetorial dos vetores normais dos planos dados, e são facilmente encontrados, conhecendo-se a equação geral do plano:
ax + by + cz @ ax1 @ by1 @ cz1 = 0 x + y + z@2 =0 então para r: x + 3y @ z @ 2 = 0
V
b c b c j k j j j j k j j j os vetores são j 1,1,1 e j 1,3, @ 1 vj vj 1 2

b

c

j j k k j j j j j j j Fazendo o produto vetorial j B j : vj vj 1 2

L L Li L L L1 L L1

j 1 3

MkM M M 1M = M M @ 1M

d

1 B @ 1 @ 3 B 1, @ 1 B @ 1 @ 1 B 1 ,1 B 3 @ 1 B 1 = @ 4,2,2
` a ` a

e este é o vetor simultaneamente ortogonal aos dois planos dados, portanto é o normal de um outro plano que contém o ponto P = 2,0,0 !
b c

b

c

e b

c

Substituindo na equação geral do plano:
@ 4x + 2y + 2z @ @ 4 2 @ 2 0 @ 2 0 = 0 @ 4x + 2y + 2z + 8 = 0
` a b c j k j j j @ 2x + y + z+ 4 = 0 [ j @ 2,1,1 vj r b ` a ` a c

dividimos por 2 para simplificar, e encontramos o vetor da reta!

Agora substituímos na equação simétrica da reta:
xfffff yfffff zfffff @ x1f @ y1f @ ff fffff fffff ffff ffff ffff ffz1f fff = fff = fff [ a b c

@0 xffff yffff zffff @2 ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff ffff @ 0 f = = fff ou @2 1 1

xffff @2 ffff ffff ffff =y= z @2

GUIDG.COM – PG.2 Lista: exercício 15 Calcular as equações das retas r que contém o ponto A(2,-1,1) e que interceptam a reta X ^x = 1 + 2t \ s: ^y = @ 1 segundo um ângulo de 45º. Z z=t Solução: O exercício não fornece figuras. Desenhado (veja a figura 1) é assim que a reta r deve se parecer, pois forma 45º com s. Nesse caso o ângulo dado só serve para encontrar o vetor diretor da reta r, isso j por que 45º é ametade de 90º. Então se encontrarmos um vetor perpendicular àk (chamaremos de s k j k j j t ), então podemos encontrar r , porque podemos somar os vetores.

Temos a equação paramétrica da reta s, e pela formula identificamos o vetor e o ponto, então: X ^x = ta + x = 1 + 2t ^ ^ 1 \ b c j Então o vetor de s ék 2,0,1 s: ^y = tb + y1 = @ 1 s ^ ^ Zz = tc + z = t 1 vetores são ortogonais quando oproduto escalar é igual a zero, então:
kk jj b c

j Agora precisamos de um vetor perpendicular ak 2,0,1 , pela condição de ortogonalidade, dois s

s A t = 0 Q 2,0,1 x,y,z = 0
a

Note que a componente b do vetor s é nula, fazendo o vetor t também pertencer ao plano x0z.
kk jj

b

c`

k j

k j

Então t 1,0, @ 2

Fazendo xb= 1 temos: c cb s A t = 0 Q 2,0,1 1,y,z = 0 [ 2 + 0 + z = 0 [z = @ 2
kb j c k j b c b c b c

j Agora somamos os vetores (veja a figura 2): t +k = 1,0, @ 2 + 2,0,1 = 3,0, @ 1 s

Que é o vetor diretor da reta r.
k j

k j Pode-se fazer t @ c que dará um outro vetor para r, mas também formando 45º com a reta s). s b k k j j t @ s = @ 1,0, @ 3 .

Encontramos os vetores e temos o ponto A(2,-1,1), então é só escrever as equações paramétricas de r. x1...
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