matematica

Introdu¸˜o ` Algebra /CEAD/UFOP - 2011 ca a ´
Professora: Cl´udia Raquel Martins Corrˆa a e

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Cap´ ıtulo 1
An´is
e
1.1

Defini¸oes e exemplos: c˜ Defini¸˜o 1. : Seja A = ca um conjunto qualquer onde estejam definidas duas opera¸oes: c˜ +:AxA→A
·:AxA→A
(x, y) → x + y e (x, y) → x · y

Dizemos que (A, +, ·) ´ um anel se para quaisquer x, y, z ∈ A s˜o satisfeitas: e a
1)(x + y) + z = x + (y + z) (associatividade da soma).
2)x + y = y + x (comutatividade da soma).
3)∃0 ∈ A tal que x + 0 = x (elemento neutro da soma).
4) Para todo x, existe d ∈ A tal que x + d = 0. Neste caso, usamos a nota¸˜o d = −x. ca (inverso aditivo).
5)(xy)z = x(yz) (associatividade do produto).
6)x(y + z) = xy + xz (distributividade).

Defini¸˜o 2. : Dizemos que (A, +, ·) ´ um anel comutativo se al´m das 6 propriedades ca e e satisfaz:
7)xy = yx para todo x, y ∈ A (comutatividade do produto).

Defini¸˜o 3. : Dizemos que (A, +, ·) ´ um anel com unidade se al´m das 6 proca e e priedades satisfaz:
8)∃1 ∈ A tal que x.1 = 1.x = x para todo x ∈ A (elemento neutro do produto).

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Defini¸˜o 4. : Dizemos que (A, +, ·) ´ um anel sem divisores de zero se al´m das 6 ca e e propriedades satisfaz:
9)xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.

Defini¸˜o 5. :OBS: Se (A, +, ·) ´ um anel comutativo com unidade sem divisores de ca e ınio ou DI). zero, dizemos que (A, +, ·) ´ um dom´ e ınio de integridade (ou dom´

e
Defini¸˜o 6. : E finalmente, dizemos que (A, +, ·) ´ um corpo se A ´ um DI e satisfaz: ca e
10) Para cada x = 0 ∈ A, existe y ∈ A tal que xy = 1. (inverso multiplicativo).
OBS: Se A for simplesmente um anel(ou dom´ ınio), seus elementos n˜o nulos n˜o a a precisam ter inversos multiplicaivos. Os elementos de um anel A que possuem inverso multiplicativo s˜o chamados invert´ a ıveis de A (ou unidades de A). Usaremos
U (A) = {x ∈ A/x ´ uma unidade de A} = {x ∈ A/x´ invert´ e e ıvel}. A ´ um corpo ⇔ U (A) = A − {0}. e Exemplo 1: (Z, +, ·)