matematica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Fundamentos de Análise
(Tutorial)
Lista 3 – Sequências Numéricas: subseqüência, sequência limitada e operações com limites.
1) Exercício 2.15 – pág. 34 do texto base.
Demonstre a seguinte afirmação: se (an ) converge para um número a, então toda subseqüência ank de (an ) converge também para o mesmo valor a.

( )

lim a n = a então ∀ε > 0 , ∃ n0 ∈ N tal que c ∀n > n0 . Em particular todos os termos ank com nk > n0 pertencem a (a − ε , a + ε ) . Então lim an k = a .
Dem:

2) Exercício 2.19 – pág. 36 do texto base.
1
Calcule lim cos n →∞ n
Dem: Usando o teorema 2.18 (pág.36). Sabemos que − 1 < cos x < 1 ∀n ∈ N então
1
1 temos que cos x < 1 . Sabemos também que lim = 0 . Consideremos então an = e n →∞ n n bn = cos n , então an → 0 e bn é limitada então pelo teorema 2.18 an ⋅ bn → 0 .

3) Demonstre o teorema 2.20 – pág. 36 do texto base.
Dem: Livro do Elon pág. 27 (teorema 8)

4) Use o teorema 2.20 para provar que:
 n + 1
a) lim
 =1
 n 
1
 n + 1
Dem: lim como lim1 = 1
 = lim1 + n  n 
1
lim1 + = 1 + 0 = 1 n e

lim

1
=0
n

segue

que

 3n + 7  1
b) lim
=
 6n − 5  2
7
3+
 3n + 7  n como lim 3 + 7 = 3 e lim 6 − 5 = 6 segue que
Dem: lim
 = lim
5
n n  6n − 5 
6−
n
7
3+
 3n + 7  n =3=1 lim  = lim
5 6 2
 6n − 5 
6−
n

 17n 5 + 73n 4 − 18n² + 3  17
=
c) lim

 23
25n 5 + 13n³


73 18 3
17 +
− +
 17 n 5 + 73n 4 − 18n 2 + 3  n n 3 n5
 = lim
Dem: lim


13
25n 2 + 13n


25 + 2 n 73 18 3
13
como lim17 +
− 3 + 5 = 17 e lim 25 + 2 = 25 n n n n
73 18 3
17 +
− +
 17 n5 + 73n 4 − 18n 2 + 3  n n 3 n 5 = 17
 = lim segue que lim


13
25n 2 + 13n
25


25 + 2 n 5) Suponha que lim x n = 3 , lim y n = 7 , e que y n ≠ 0 para todo n. Determine os seguintes limites:
a) lim( x n + y n )
Dem: lim( xn + yn )