Matematica

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 31 (7675 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 24 de outubro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Sequências e Séries
Cálculo III - ECT 1312
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Fevereiro 2012

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

1 / 108

Sequências
Definição
Uma sequência ou sucessão (infinita) de números reais é uma função
f : N → R, que associa a cada número natural um número real, ou seja:

1,
2,
···


f (1), f (2), ·· ·

n,
···

f (n), · · ·

Notação
Em vez de f (n), valor da função sobre o natural n, utilizamos o símbolo an
(leia: a índice n). Os números a1 , a2 , · · · , an são chamados de termos ou
elementos da sequência, e o n-ésimo termo, an , de termo geral. Uma
sequência será denotada por (an ) ou (an )∞=n0 .
n

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

2 / 108

SequênciasExemplo 1
Uma sequência pode ser definida listando seus termos em ordem até que se
reconheça um padrão, ou através do seu termo geral ou ainda de uma relação
de recorrência.
(a) (0, 2, 4, 6, 8, · · · ),
(b) (an ) := (2n)∞ ,
0
(c) a0 = 0 e an+1 = an + 2.
Note que os exemplos dos ítens (a), (b) e (c) representam a mesma
sequência, a saber, a sequência dos números pares.

Leonardo Mafra(ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

3 / 108

Sequências
Exercício 1
Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.
(a) (sn ) := (∑∞ 1 k)
k=
1
(b) (bn ) := ( Dn √ 2 2 dxdy)∞=1 , onde Dn é a coroa circular
n
x +y
1
≤ x2 + y2 ≤ 1.
n2

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

4 / 108

Sequências
Exercício 1 (solução)
Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.(a) s1 = 1, s2 = 1 + 2, s3 = 1 + 2 + 3, · · ·


(b) bn = 0

1
1
n

drdθ =

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

2π(n−1)
,
n

π
logo: b1 = 0, b2 = π, b3 = 43 , · · · .

Fevereiro 2012

5 / 108

Limite de uma sequência
Definição
Considere uma sequência de termo geral an e um núnero real L. Dizemos que
an tem limite L, se para todo ε > 0, existir um natural K tal que n > K implicar|an − L| < ε. Se tal limite for finito dizemos que a sequência converge, do
contrário a sequência diverge. É comum escrevermos

lim an = L

n→∞

ou

an → L

quando

n → ∞.

Note que a definição acima é igual a de uma função real f (x) a valor real
quando x → ∞, a única diferença é que n precisa ser inteiro. Com essa
observação temos o seguinte teorema.
Teorema 1
Seja an = f (n),n inteiro. Se limx→∞ f (x) = L, então limn→∞ an = L.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

6 / 108

Limite de uma sequência
Exemplo 2
Utilize a definição para mostrar que limn→∞ n21 1 = 0.
+
1
Dado ε > 0, tome K = 1 . Logo para n > K , tem-se que 1 < K = ε e assim
ε
n

|

1
n2 + 1

− 0| =

1
n2 + 1

<

1
< ε.
n

Logo pela definição limn→∞ n21 1 = 0.
+Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

7 / 108

Limite de uma sequência

Exercício 2
Calcule limn→∞


n
n.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

8 / 108

Limite de uma sequência
Exercício 2 (solução)
Calcule limn→∞


n
n.

lim

n→∞


1
1
ln x
n
n = lim n n = lim x x = lim e x ,
n→∞

x→∞

n→∞

Como

n→∞

lim

ln x
= 0,
x

lim


nn = 1.

tem-se que

n→∞

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

9 / 108

Limite de uma sequência
Um teorema importante que relaciona uma função contínua com sequências
convergentes é dado a seguir.
Teorema 2
Se limn→∞ an = L e se a função f for contínua em L, então

lim f (an ) = f ( lim an ) = f (L).

n→∞

n→∞

Também é válido para sequências o teorema do confronto.Teorema 3
Seja (bn ) uma sequência tal que para todo n, an ≤ bn ≤ cn . Se limn→∞ an = L
e limn→∞ cn = L então:

lim bn = L.

n→∞

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

10 / 108

Limite de uma sequência
Exemplo 3
Encontre limn→∞ sin( π ).
n

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

11 / 108

Limite de uma sequência
Exemplo 3 (solução)
Encontre limn→∞ sin( π...
tracking img