Matematica

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Sequencia Numérica.
Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem.
Essa sequência que estudamos em matemática é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem preestabelecida.

Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns exemplos de sequências numéricas:

•(2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares positivos.
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais.
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.
• (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.

Essas sequências são separadas em dois tipos:
• Sequência finita é umasequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35.
• Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais.

Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a1, o segundo termo é a2, o terceiro a3 eassim por diante. Em uma sequência numérica desconhecida, o último elemento é representado por an. A letra n determina o número de elementos da sequência.

(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita.

(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita.

Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei de formação da sequência. Por exemplo:

Determine os cinco primeiroselementos de uma sequência tal que an = 10n + 1, n N*

a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001

Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001).
Progressão Aritmética
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo(elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo dovalor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razãoigual a r, sabemos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r


a n = a1 + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a n = a1 + (n – 1) . r

Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

an = a1 + (n – 1) . r
a16 =-10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
                    2

Exemplo 2:

Determine uma P.A sabendo que a soma deseus 8 primeiros termos é 324 e que
a 8 = 79.

Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79

Sn = (a1 + an) . n
                2

324 = (a1 + 79) . 8
                     2

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.

a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 –...
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