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ETAPA nº 1: A Derivada
PASSOS
Passo 1 – Faça a leitura do capitulo 2 – seções 2.3 e 2.4 do PLT e demonstre o que representa a taxa de variação média de f e a taxa de variação instantânea de f, dê exemplos.
R: Sabemos que as grandezas variam. Em nosso cotidiano, pensamos muitas vezes na variação dessas grandezas, como, por exemplo, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, de modoque, quando uma grandeza y está expressa em função de outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.

- A taxa de variação média representa, se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação x, ou seja, x varia de x0 até x0+x, podemos calcular a correspondente variação de y, quedenominamosy. O quociente é denominado taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação x considerada.
Ex: A previsão da temperatura numa estância de ski entre as zero e as 8 horas de um certo dia é dada por: C(t) = 0,5t2 - 4t , com 0 < t < 8. Onde C(t) representa a temperatura em graus centígrados e t o tempo decorrido em horas. À variação média datemperatura num dado intervalo chama-se taxa média de variação (t.m.v.).
Neste caso, a taxa média de variação no intervalo [0, 4] é:
(t.m.v.).[a,4] = C(4) – C(0)/4 = -8/4 = -2
Geometricamente, o valor da taxa média de variação no intervalo [0, 4] é o declive da reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 0) e (4, - 8).

- A taxa de variação instantânea é a taxa de variação definida para valoresinfinitesimais.
Consideremos uma função y = f(x) onde uma variação Dx acarreta uma variação dy. Quando a variação Dx torna-se infinitesimal dx, a variação dy também assume valores infinitesimais dy.
A taxa de variação instantânea é TV = dy /dx.
Ex: Seja a função y = 2x2 + 3. Vamos calcular a taxa de variação quando x = 1, dando a x um acréscimo Dx = h.
Valores Iniciais | Valores Finais |Acréscimos | TV |
x | y | x | y | Dx | Dy | Dy / Dx |
1 | 2x12+3=5 | 1 + h | 2x(1+h)2+3
5+4h+2h2 | h | 5+4h+2h2-5
4h+2h2 | 4h+2h2/h
4+2h |

Para calcularmos a TV instantânea, isto é, para x=1 faremos o acréscimo h tender a zero e assim a
TV = dy / dx >>> TV = 4 + 2x0 >>> TV = 4

Passo 2 – Demonstre a regra da derivada da função constante e a regra da função potência,algebricamente.
R: - Função constante: f(x) = k. Seu gráfico é uma reta horizontal, com coeficente angular 0 em todos os pontos, portanto a sua derivada é 0 em toda parte. Então:
Se f(x) = k, então f’(x) = 0
- Função potência: f(x) = xn. Quando n é 2 ou 3 podemos usar o teorema binominal para mostrar a regra da potência para um inteiro positivo n. Então:
Se f(x) = xn, então f’(x) = nxn-1Passo 3 – Leia o capítulo 2 – seção 2.5 do PLT e por meio de exemplos, faça a interpretação prática da derivada.
R: Este é um método prático:
Obs: Esse método só serve para derivadas de uma função potência (não exponencial natural).
Método: Dx(x^n) = n.x^n-1 (leia-se Derivada de x elevado a n é igual a n multiplicado por x elevado a n-1.
  Exemplo: f(x) = x³ então f’(x) = 3x² .

Passo 4 – Leiao capítulo 2 – seção 2.6 do PLT e elabore um texto, com explicações, sobre a derivada segunda. Não se esqueça de citar sobre concavidade.
R: De maneira geral a derivada tem dois aspectos, o geométrico e o computacional, já as suas aplicações são muitas: tem muitos papéis importantes, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicaçõesaparecem todos os dias. Ela é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.
Além da derivada “normal”, ou...
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