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Fundação Educacional Dom André Arcoverde
Instituto Superior de Educação
Curso de Matemática

Teoria dos Conjuntos

Por:
Liliane Peres
Djalma

Valença,2012.
Teoria dos conjuntos
* Um pouco de história
É a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjuntocomo uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
* Definição de conjuntos
O conjunto é definido comouma coleção de objetos claramente distinguíveis uns de outros, chamados elementos, e que pode ser pensado como um todo. Não é habitual considerar conceitos mais simples que os de conjunto e elemento de um conjunto. Conjunto e elemento de um conjunto são termos primitivos que não se definem.

Exemplos de conjuntos:
Os estudantes da FAA. Cada estudante é elemento do conjunto.
Um sistema de trêsequações com três incógnitas. Cada equação é elemento do conjunto.
Os números inteiros positivos. Cada número é elemento do conjunto.
Um conjunto designa-se geralmente por uma letra maiúscula com ou sem índice.
A expressão simbólica x ∈ A significa que x é elemento do conjunto A e lê-se: x pertence ao conjunto A . A expressão simbólica x∈ A significa que x não é elemento do conjunto A elê-se: x não pertence ao conjunto A .
* Fundamentos
A Teoria dos conjuntos axiomática, portanto, é fundamentada em apenas dois conceitos:
* A noção primitiva de conjunto;
* A expressão , em que x e y são conjuntos.
Diz-se que x é um elemento de y quando esta última expressão for verdadeira, e x não é um elemento de y quando esta expressão for falsa (neste caso escreve-se ).
Usaremostambém a notação (e outras expressões parecidas) para representar - note-se que não implica, necessariamente, que (veremos que, em geral, isto não é válido). Tente imaginar uma situação que exemplifique este fato.
Pela experiência anterior, sabe-se que existe um conjunto com as seguintes propriedades notáveis:
*
em palavras: o conjunto vazio não tem elemento
*
em palavras: se um conjuntoqualquer não tem elementos, então este é igual ao conjunto vazio.
Na Teoria axiomática dos conjuntos, estes dois resultados (resumidos em "o conjunto vazio existe e é único") são teoremas.
* Existência
Um problema estético que se tem ao apresentar os axiomas da Teoria dos conjuntos é que os axiomas mais simples (aqueles que são apresentados no início) não garantem a existência de algumconjunto.
Na linguagem da Teoria dos modelos, o campo da lógica que estuda estruturas matemáticas que consubstanciam sistemas de axiomas, esta ideia é expressa por:
O conjunto vazio é um modelo da teoria que consiste dos axiomas de Zermelo-Fraenkel sem o axioma do infinito.
Isto porque todos os outros axiomas tem a expressão "Para todo conjunto X, bla bla bla". Então, se não existe nenhum conjunto nateoria, todos os axiomas são verdadeiros (ver artigo na Wikipédia em inglês, Vacuous truth).
Assim, para podermos entender e exemplificar os primeiros axiomas, será incluído um axioma adicional. Simplesmente, este axioma diz que existe pelo menos um conjunto:.
O axioma da extensão diz que a única coisa que distingue dois conjuntos são seus elementos. Ou seja, dois conjuntos são iguais se, esomente se, seus elementos são os mesmos. Como só existem conjuntos (ou seja, os elementos dos conjuntos são conjuntos), este axioma diz dois objetos são iguais quando seus elementos são os mesmos.
Formalmente, o axioma se escreve:

* Subconjuntos
A expressão é usada para representar a noção de subconjunto, ou seja, definimos:

como

Segue-se imediatamente que:

Um subconjunto é...
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