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Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática
Sociedade Brasileira de História da Matemática

O Primeiro Trabalho de Euler sobre Equações Diofantinas
Euler’s First Work on Diophantine Equations
Joice de Andrade Dantas1 John A. Fossa2

Resumo
Incentivado pelos amigos, especialmente os Bernoulli e Goldbach, Leonhard Euler desenvolveu um forte interesse na Teoria dos Números,incluindo a resolução de equações diofantinas, ou seja, a resolução de equações cujos coeficientes são números inteiros e cujas soluções também o são. O primeiro trabalho de Euler sobre a referida subárea da Teoria dos Números foi o De solutione problematum diophanteorum per números integros (“Sobre a solução de problemas diofantinos por números inteiros”). Foi publicado em 1738, embora tivesse sidoapresentado à Academia de São Petersburgo cinco anos antes. No mencionado texto, Euler trata do problema de fazer com que a expressão generalizada do segundo grau seja igual a um quadrado perfeito, isto é, procura soluções no conjunto dos números inteiros para a equação ax2+bx+c = y2. Para tanto, Euler, através do uso inovador de métodos algébricos para resolver problemas número-teoréticos, mostracomo encontrar mais soluções depois que uma primeira é conhecida. Na sua resolução, reduz o problema original à resolução de uma equação associado, a chamada “equação de Pell”, q2 = ap2+1. A redução resolve o problema, pois a sua solução já era conhecida na época de Euler. De fato, foi o próprio Euler que batizou essa equação com o nome de Pell, aparentemente porque pensava, erroneamente, que foiesse matemático inglês que havia encontrado a solução geral da equação. Há, no entanto, certo aspecto deselegante na solução de Euler, porque a sua procura de novas soluções acarreta cálculos aritméticos cada vez mais complicados. Para remediar a situação, Euler desenvolve duas regras de recorrência que geram a sequência de soluções (xi) e a sequência de lados do quadrado (yi), que permitem ocálculo desses valores de forma bastante simples. No intuito de esclarecer o método de Euler, sem entrar em todos os detalhes da sua derivação algébrica dos seus resultados, aplicamos o seu procedimento a um exemplo concreto, a saber, a resolução da equação diofantina 3x2+5x+7 = y2. Palavras-chave: História da Teoria dos Números. Equações Diofantinas. Leonhard Euler.

Abstract
Influenced by hisfriends, especially the Bernoullis and Goldberg, Leonhard Euler developed a strong intrest in the Theory of Numbers, including the resolution of Diophantine equations, that is, the resolution of equations whose coefficients and whose solutions are whole numbers. The first of Euler’s articles on this subarea of Number Theory was De solutione problematum diophanteorum per números integros (“On theSolution of Diophantine Problems in Whole Numbers”). It was only published in 1738, although it had been presented to the St. Petersburg Academy five years earlier. The problem that he addressed in the article is that of making the general second degree expression a perfect square. That is, he wants to find the whole number solutions to the equation ax2+bx+c = y2. In order to do so, Euler innovated byapplying algebraic methods to number theoretic problems and thereby showed how to generate new solutions from those already obtained. In his resolution, he reduced the original problem to the resolution of an associated equation, the so-called Pell equation, q2 = ap2+1. The reduction resolves the original problem since the solution to the Pell equation was already known. In fact, it was Eulerhimself who coined the term “Pell equation” since he apparently thought, erroneously, that it had been the English mathematician John Pell who had given the general solution to the aforementioned equation. In any case, Euler’s solution was inelegant in the sense that it required ever more
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Mestranda do PPGEd da UFRN. E-mail: joy.dantas@gmail.com Depto. de Matemática, PPGEd e PPGECNM da UFRN....
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