MATEMATICA UFPR 2015 2a fase

MATEMÁTICA
COMENTÁRIO DA PROVA
Os objetivos desta prova discursiva foram plenamente alcançados. Os conteúdos principais foram contemplados, inclusive complementando os tópicos abordados na 1ª. fase, mostrando uma conveniente interação entre as duas provas, o que é elogiável. Questões clássicas, primando pela originalidade em várias situações, questões mais trabalhosas, atenuadas pelo tempo maior (2horas e 30 minutos) disponibilizado para a sua resolução.
Professores de Matemática do Curso Positivo.

1

MATEMÁTICA

Resolução:
Inicialmente, vamos escalonar o sistema: adicionando os elementos da segunda equação aos da primeira multiplicados por (–2), e adicionando os elementos da terceira equação aos da primeira multiplicados por (–3). Desta forma, tem-se: x – 2y +

z=5

2x + y + 3z = 2
3x – y + k2 z = k + 5 x – 2y +

z=5

5y +

z=–8

5y + (k2 – 3) . z = k – 10
Continuando, vamos adicionar os elementos da terceira equação aos da segunda multiplicados por (–1): x – 2y +

z=5

5y +

z=–8
(k – 4) . z = k – 2
2

a) Para k = 0, tem-se: x – 2y + z = 5
5y + z = – 8
– 4z = – 2
Da terceira equação, tem-se z =
1
=–8
2
1
5y = – 8 –
2
17 y=– 10

1
1
. Substituindo z = na segunda equação, tem-se:
2
2

5y +

2

MATEMÁTICA Substituindo z =

1
17
ey=– na primeira equação, tem-se:
2
10

1
17
+
=5
2
10

x–2. –

x+

x=5–

x=

Para k = 0, o conjunto solução é dado por S =

1
17
=5
+
2
5
1
17
–
2
5

11
10
11
17 1
,–
,
10
10 2

b) O sistema escalonado apresenta-se da seguinte maneira: x – 2y +

z=5

5y +

z=–8
(k – 4) . z = k – 2
2

Observando a última equação do sistema, tem-se:

• Para k = 2, tem-se 0 . z = 0, de modo que z pode assumir qualquer valor real.
• Para k = –2, tem-se 0 . z = – 4. Neste caso, não existe valor de z que verifique tal equação.
1
k–2
=
.
• Para k ≠ 2 e k ≠ –2, tem-se um único valor de z, ou seja, z = 2 k+2 k –4

Respostas:
a) S =

11
17 1
,–
,
10
10 2

1 b) Para k ≠ 2 e k ≠ –2, tem-se z =
→ Sistema possível e