Matematica sistemas lineares

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INTRODUÇÃO

Na antiguidade, problemas que resultavam em sistemas de equações lineares motivaram o estudo de matrizes e determinantes, e estes, por sua vez, incentivaram o desenvolvimento de sistemas de equações lineares, de modo que todos esses conceitos possuem uma história bastante entrelaçada. O matemático italiano Gerônimo Cardano ( 1501 – 1576 ), em sua obra Ars magna, de 1545, forneceuuma regra para a solução de sistemas de duas equações lineares denominada regula de modo.
No século seguinte, o matemático alemão Gottfried Willhelm Von Leibniz (1646 – 1716) provou vários resultados em sistemas lineares envolvendo a ideia de determinante, o que é essencial a regra de Cramer. A primeira prova da regra de Cramer para sistemas 2 X 2 e 3 X 3 ocorreu no Tratado de álgebra, domatemático escocês Colin Maclaurin (1698-1746), escrito em 1730. No entanto, a prova geral foi dada pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704 – 1752) no artigo Introdução à analise de curvas algébricas, publicado em 1750. Após essa obra, começaram a surgir regularmente trabalhos utilizando determinantes como objeto de investigação matemática.



1. EQUAÇÃO LINEAR

Toda equação do primeiro grau quepossui uma ou mais incógnitas é uma equação linear.

A equação 2x + 5y -6z = 10 é um exemplo de equação linear, onde:
* As letras x, y e z são as incógnitas;
* Os números 2, 5 e -6 são os coeficientes das respectivas incógnitas;
* O numero 10 é o termo independente.

2.1 Resolução de uma equação linear
Uma equação linear com duas ou mais incógnitas tem infinitas soluções.Considere como exemplo a equação 5x – 2y + z = 4. O terno ordenado (1,2,3) é uma das soluções dessa equação, pois:

5 ∙ (1) – 2 ∙ (-2) + 1 ∙ (3)= 5 – 4 + 3 = 8 – 4 = 4

Uma outra solução dessa equação é o Reno (-4, 5, 34), pois:

5 ∙ (-4) – 2 ∙ (5) + 1 ∙ (34) = - 20 – 10 + 34 = - 30 + 34 = 4

No entanto, o terno (2,1,5) não é uma solução dessa equação, pois:

5 ∙ (2) – 2 ∙ (1) + 1 ∙ (5)= 10 – 2 + 5 = 15 – 2 = 13 ≠ 4


2. SISTEMAS LINEARES
Sistema linear é todo sistema formado por equações lineares.

Assim, o sistema x+y=52x-y=1 é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas. O sistema a+b-c+d=22a+b+ c-2d=1a-b+c+2d=6 é um sistema linear de três equações com quatro incógnitas.

Voltando ao sistema x+y=52x-y=1 , podemos verificar que:

* Os paresordenados (-2, 7), (0, 5), (2, 3), (4,1), (6, -1) são algumas soluções da primeira equação;
* Os pares ordenados (0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (5,9) são algumas soluções da segunda equação;
* O par ordenado (2, 3) é uma solução comum das soluções.
Cada equação representa uma reta no plano. O conjunto solução do sistema nada mais é do que o conjunto dos pontos que estão na intersecção dassuas retas. No nosso caso, as duas retas são correspondentes. Logo, só pode haver um único ponto de intersecção, ou seja, o par (2, 3) é a única solução do sistema.

3.2 Resolução de sistemas lineares pelo método da substituição
Um dos métodos utilizados para resolver um sistema consiste em isolar uma das incógnitas numa das equações e substituir o valor encontrado nas outras equações(método da substituição).

Exemplo

Vamos resolver o sistema, usando esse método.

a) 5x-2y=92x+6y=7

Isolando o valor de y em 5x-2y=9 temos: - 2 y = 9 – 5 x →y= 5x-92

Substituindo y por 5x-92 na equação 2x+6y=7, temos: 2x+6 5x-92=7 →x=2

Substituindo x por 2 em y= 5x-92, obtemos y= 12. Logo, S = {2, 12 }.

3.3 Sistemas lineares homogêneos
Se todos os termos independentes emcada equação de um sistema linear forem nulos, o sistema é chamado homogêneo e a n-upla (0, 0, ...,0) é uma solução desse sistema, chamada de solução nula ou trivial.


Exemplo:

O sistema 4x+2y-z=0x-y+2x=0x+y-z=0 é um sistema linear homogêneo, e o terno (0, 0, 0) é uma solução dele.
Se existirem outras soluções, estas serão chamadas de soluções não triviais.
O terno ordenado ( - 1, 3, 2)...
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