Matematica primitivas

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Exercícios de Revisão Primitivas Imediatas

Algumas Fórmulas Úteis .....................................................................................................3 §1 Introdução Teórica ..............................................................................................................4 §2 ExercíciosResolvidos...........................................................................................................4 2.1 Potência...........................................................................................................................4 2.2 Exponencial ....................................................................................................................5 2.3 Logaritmo.......................................................................................................................6 2.4 ArcTan/ArcSin ...............................................................................................................7 §3 Exercícios Propostos ............................................................................................................8 §4 Sugestões para as resoluções dos ExercíciosPropostos.....................................................9 Bibliografia .........................................................................................................................10

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Tabela 1.1: Tabela de Primitivas Elementares

f
c, c ∈ IR
x (α≠− 1)
α

P f =F
cx
x α+1 α +1 log x

1 x ex

ex sin x
− cos x tg x

cos x
sin x
sec2x

cosec2 x 1 1+ x 2 1
1− x 2 cosh x sinh x

−cotg x arctg x

arcsin x sinh x cosh x

N.B.: Nesta colecção vamos reduzir todas as primitivas a determinar, às expressões nesta tabela. Este aspecto deve ser bem ponderado pelos leitores, no contexto da avaliação a que serão sujeitos, nas respectivas faculdades.

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2 Algumas Fórmulas Úteis
Fórmulas trigonométricas
sin 2 x + cos2 x = 1

sec x ≡

1 cos x

cosec x ≡

1 sin x

tg 2 x +1= sec 2 x

cotg 2 x +1= cosec2 x

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos2 x = cos 2 x−sin 2 x

1 1 sin 2 x = − cos2 x 2 2

1 1 cos 2 x = + cos2 x 2 2

= 2cos 2 x− 1 = 1 − 2sin 2 x

e i x ≡cis x = cos x +i sin x

(fórmula de Euler)

i ≡ −1

sin x =

e ix −e −ix2i

cos x =

e ix +e −ix 2

Funções hiperbólicas

sinh x ≡

e x −e −x 2

cosh x ≡

e x +e −x 2

tgh x ≡

sinh x cosh x

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§1 Introdução Teórica
Definição 1.1: Primitiva “Sejam f e F funções definidas no intervalo [a, b] ; F é diferenciável em todos os pontos de [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem: F′(x ) = f ( x ) , diz-se que a função f é primitivável em [a, b] e que F é uma primitiva de f em [a, b] .” Observação 1.2: Notação “Para denotar uma primitiva F de uma função f é habitual usar-se uma das seguintes

notações: F ( x ) = Pf ( x ) = Px f (x ) = ∫ f ( x )dx .”

§2 Exercícios Resolvidos
Para resolver este grupo de exercícios, o método a utilizar é transformar a função a primitivar,evidentemente sem a alterar, numa função do tipo das existentes na tabela de primitivas elementares (Tabela 1.1), e de seguida primitivá-la imediatamente recorrendo à dita tabela. Em geral nesta fase inicial, além da Tabela 1.1 vamos usar o seguinte resultado:

Teorema 2.1: Regra da Derivada da Função Composta



d [F (u (x ))] = F ′(u(x )).u ′(x ) ” dx

2.1 Potência
P ⎡ xα ⎤ = ⎣ ⎦ xα +1 α+1 P ⎡uα u ′ ⎤ = ⎣ ⎦ uα +1 α +1

2.1.1 Primitive as seguintes funções: (a) (b) (c)
x4 3 − 2x 2 + 3 3 x
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x2 + 25 x x − 23 x x

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Resolução:

(a) (b) (c)

P(

x4 x 5 2 3 3 −2 3 1 − 2 x 2 + 3 ) = P x 4 − 2 P x 2 + 3 P x −3 = − x − x 3 3 15 3 2 x

3 5 P(3 x 2 + 25 x ) = P x 2 3 +2P x 1 / 5 = x 5 / 3 + x 6 /...
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