Matematica para negócios

Q1 – Uma empresa tem preço unitário de seu produto custando R$ 40,00 e assim vende 20 unidades. Caso baixe o preço para R$ 20,00 consegue vender 40 unidades. Sabendo-se que a função CT(x) = 5x + 250, pede-se:
A) A função demanda. P(x);
B) A função Receita. R(x);
C) O gráfico da Receita R(x), identificando que quantidade maximiza a receita;
D) O gráfico da função lucro L(x), determinando qual o lucro máximo.

Cálculo Item A.
P(x) = a.x + b

P  X
40  20
20  40

40 = 20.a + b . (-1) 20 = 40.a + b

-40 = -20.a – b 20 = 40.a + b - 20 = 20.a a = -20/20 a = - 1

Substituindo a na função;
20 = a.40 + b
20 = (-1).40 + b

20 = -40 + b b = 20 + 40 b = 60

logo, a função demanda é:

P(x) = a.x + b
P(x) = - 1.x + 60
P(x) = - x + 60

Cálculo Item B. R(x) = p . x
R(x) = (- x + 60) . x R(x) = - x2 + 60x

Cálculo Item C.
R(x) = - x2 + 60x
- x2 + 60x = 0 (-1) x2 - 60x = 0 x ( x – 60 ) = 0 x’ = 0 x” = 60
Cálculo do Vértice

V = x’ + x” 2
V = 0 + 60 2
V = 30 Gráfico
X R(x)
X’ = 0 0
V = 30 900
X” = 60 0

R(x) = - x2 + 60x
R(30) = -(30)2 + 60 (30)
R(30) = - 900 + 1.800
R(30) = 900

OBS: A quantidade que maximiza a receita é 30.

Cálculo Item D.
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = - x2 + 60x – (5x + 250)
L(x) = - x2 + 60x – 5x - 250
L(x) = - x2 + 55x – 250 ( -1 ) x2 - 55x + 250 = 0 x = - b ± √-b² - 4ac 2.a x = 55 ± √(55)² - 4.1.250 2.1 x = 55 ± √3025 - 1000 2 x = 55 ± √2025 2

X’ = 55-45 = 5 2 x = 55 ± 45 2 X” = 55+45 = 50 2

Cálculo do Vértice

V = x’ + x” 2
V = 5 + 50 2
V = 55 2 Gráfico
X L(x)
X’ = 5 0
V = 55 2 506,25
X” = 50 0

L( x ) = - x2 + 55x - 250
L(55/2) = -(55/2)2 + 55 (55/2) - 250
L(55/2) = -(3025/4) + 3025/2 – 250/1 mmc = 4
L(55/2) = -