Matematica no sangue

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12.3 Limite de uma Fun»c~ao
De¯ni»c~ao 12.5. Diz-se que o n¶umero b ¶e limite da fun»c~ao f(x); quando x tende para a (x ! a);
se para qualquer valor xi pertencente a vizinhan»ca de raio ± > 0 e centro em a tem se
jxi ¡ aj < ± ) jf(xi) ¡ bj < "
onde " > 0 e escreve-se
lim
x!a
f(x) = b;
156 centro de preparac»~ao de exames de admiss~ao ao ensino superior
12.3.1 C¶alculo de Limite de umaFun»c~ao
Observa»c~ao 12.6. Ao calcularmos limite de uma fun»c~ao procedemos de maneira analoga ao c¶alculo
de limites de sucess~oes. Todos os m¶etodos usados para levantamento de indetermina»c~oes de sucess~oes
s~ao v¶alidos para limites de fun»c~oes.
12.3.2 Indetermina»c~ao do Tipo
0
0
Exemplo 12.17. veja: lim
x!2
x ¡ 2
x2 ¡ 4
=
·
0
0
¸
Este tipo de indetermina»c~ao levanta-se:1) Factorizando, no caso de express~oes racionais, ou
2) Substituindo, para casos de express~oes irracionais, ou
3) Multiplicando pelo conjugado
lim
x!2
x ¡ 2
x2 ¡ 4
= lim
x!2
x ¡ 2
(x + 2)(x ¡ 2)
= lim
x!2
1
x + 2
=
1
4
12.3.3 Limites Laterais
1) Se f(x) tende para o limite b quando x tende para a; tomando apenas valores menores que a;
escreve-se:
lim
x!a¡
f(x) = b
On¶umero b chama-se Limite µa Esquerda de f(x) no ponto a
2) Se f(x) tende para o limite c quando x tende para a; tomando apenas valores maiores que a;
escreve-se:
lim
x!a+
f(x) = c
O n¶umero c chama-se Limite µa Direita de f(x) no ponto a
Portanto b e c s~ao chamados Limites Laterais
Exemplo 12.18. Determine os limites laterais das fun»c~oes
1)
f(x) =
8<
:
3, se x < 2;
x ¡ 1; casocontr¶ario,
Vamos construir o gr¶a¯co desta fun»c~ao para podermos observas os seus limites laterais.
Com base na ¯gura (12:5) constatamos que:
² a esqueda de 2 a fun»c~ao tende para 3, lim
x!2¡
f(x) = 3
² a direita de 2 a fun»c~ao tende para 1, lim
x!2+
f(x) = 1
dr. betuel de jesus varela canhanga 157
x
y
Figura 12.5:
De¯ni»c~ao 12.6. Diz se que uma fun»c~ao tem limite num certo ponto se osseus limites laterais
forem iguais.
Observa»c~ao 12.7. Para a fun»c~ao esbo»cada na ¯gura (12:5); porque seus limites laterais s~ao
diferentes quando x ! 2, dizemos que ela n~ao tem limite quando x ! 2.
2)
f(x) =
8>>><
>>>:
x2 ¡ 1; se x 2] ¡1; 1[;
¡x + 1; x 2]1;1[;,
2; x = 1;,
Vamos construir o gr¶a¯co desta fun»c~ao para podermos observas os seus limites laterais.
x
y
Figura 12.6:Com base na ¯gura (12:6) constatamos que:
² a esqueda de 1 a fun»c~ao tende para 0, lim
x!1¡
f(x) = 0
² a direita de 1 a fun»c~ao tende para 0, lim
x!1+
f(x) = 0
158 centro de preparac»~ao de exames de admiss~ao ao ensino superior
Observa»c~ao 12.8. Para a fun»c~ao esbo»cada na ¯gura (12:6); porque seus limites laterais s~ao
iguais quando x ! 1 dizemos que ela tem limite e esse limite ¶eigual a zero.
12.3.4 Limites Not¶aveis
Veja alguns limites not¶aveis
1) lim
x!0
sin x
x
= 1
x
y
Figura 12.7:
Observa»c~ao 12.9. Veja que o gr¶a¯co da fun»c~ao
y =
sin x
x
tem um ponto de discontinuidade, que ¶e o ponto de abcissa x = 0; esbo»cando o gr¶a¯co podemos
ver que a fun»c~ao tende para 1 na vizinhan»ca de zero. Muitos exerc¶³cios sobre limites de fun»c~oes
trigonom¶etricasresolvem-se com auxilio do limite estudado acima. Raz~ao pela qual chamamos
Limite not¶avel. Outros limites not¶aveis s~ao:
2) lim
x!0
tan x
x
= 1
3) lim
x!0
ln(x + 1)
x
= 1
4) lim
x!0
ex ¡ 1
x
= 1
12.4 Alguns Exercicios Resolvidos
1) Resolva lim
x!1
(2x ¡ 1)(3x + 5)(4x ¡ 2)
3x3 + x ¡ 2
Aplicando a substitui»c~ao, teremos
lim
x!1
(2x ¡ 1)(3x + 5)(4x ¡ 2)
3x3 + x ¡ 2
=h1
1
i
pegando as partes mais velhas teremos
lim
x!1
(2x ¡ 1)(3x + 5)(4x ¡ 2)
3x3 + x ¡ 2
= lim
x!1
2x 3x 4x
3x3 = lim
x!1
24x3
3x3 =
24
3
= 8
dr. betuel de jesus varela canhanga 159
2) Resolva lim
x!2
x2 ¡ 4
x2 ¡ 3x + 2
Aplicando a substitui»c~ao, teremos
lim
x!2
x2 ¡ 4
x2 ¡ 3x + 2
=
·
0
0
¸
factorizando tanto o num¶erador como o denom¶³nador teremos
lim
x!2...
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