Matematica finanziaria

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Appunti di matematica finanziaria (di Serena Balestra e Davide Benza)
CAPITOLO I Leggi finanziarie (Libro di testo: “Matematica finanziaria” di Cristina Gosio, Bozzi Editore, Genova)
La matematica finanziaria studia i modelli matematici necessari per governare le operazioni finanziarie. Cosa sono le operazioni finanziarie? Sono scambi di moneta contro moneta ($/€ non importa) che si protraggononel tempo: impresto 100€ a Tizio, il quale si impegna a restituirmeli ad un tempo prefissato.
Le operazioni finanziarie si possono rappresentare sull’asse dei tempi, cioè su una retta orientata r sulla quale ogni punto individua un tempo. Se in t1 impresto il capitale C a Tizio, questo C per definizione è ( 0.
C M
Con 0≤ t1≤ t2
t0 t1 t2 r
La somma che Tizio deve restituiresi chiama montante (M). M rispetto a C e M>C per l’uso che viene fatto del denaro da chi lo riceve. Se M>C vuol dire che M = C + qualcosa; se questo qualcosa è l’interesse → M = C + I.
M segue delle leggi di capitalizzazione per la sua formazione così come ci sono delle leggi di interesse per la formazione di I.
Vediamo per prime le Leggi di capitalizzazione per la formulazione del montante.
M,il montante dipende dal capitale e dal tempo. È una funzione che chiamiamo Φ (“fi”) → M = Φ.
M è funzione di 3 variabili: C, t1, t2 → M = Φ (C, t1, t2)
Vediamo il dominio di Φ → Φ = R+ x R+ x R+ → il codominio è: R+ → M ( 0.
C x t1 x t2
Vediamo ora le proprietà minime che devono essere soddisfatte da Φ perché questa sia una legge di capitalizzazione.
1) Φ (0, t1, t2) = 0:impiegando un C = 0 otterrò un M = 0.
2) Φ (C, t1, t1) = C: se impresto in t1 e mi restituiscono in t1 otterrò C = C.
3) Φ (C, t1, t2) < Φ (C, t1, t3) con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3
Si può anche fare la derivata rispetto al terzo argomento Φ’3>0
4) Φ (C, t1, t2) < Φ (C2, t1, t2) con 0 ≤ C1 ≤ C2
Con la derivata Φ’1>0
Esempi: t22 – t21
• Data la funzione Φ (C, t1, t2)=C * e èadatta a rappresentare una legge di capitalizzazione?
Verifico le quattro proprietà:
1) se C = 0 → la funzione = 0 → OK
2) “e” è elevato a t21 – t21 quindi è elevato a 0; un numero elevato a 0 dà 1, che moltiplicato a C dà C → OK
t22 – t21 t23 – t21
3) C * e < C * e → semplificando: t22 < t23 → OK
Oppure, facendo la derivata (?):
t22 – t21
C *e * 2t2 → >0 → OK
>0 >0 >0
4) C1 < C2 → OK
Oppure: t22 – t21
= 1 * e >0 → OK
>0 >0
• Calcolare il montante M di 200€ impiegati in 1 dopo 2,5.
200 M?

t0 t1 t2,5
2,52 – 12
M (200, 1, 2,5) = 200 * e = 38.113,25
Queste 4 proprietà minime devono essere verificate tutte 4 perché una Φ sia una legge di capitalizzazione.Ci sono poi altre proprietà che una legge di capitalizzazione può avere:
1) Uniformità o stazionarietà nel tempo
Una legge si dice uniforme o unitaria nel tempo se:
Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t2+x) 0 ≤ t1 ≤ t2
200 M?

t0 t1 t1+x t2 t2+x
Se una legge è uniforme allora il montante M di un capitale C non dipende dall’istante in cui è impiegato e dall’istante in cui èdisinvestito, ma dipende dall’ampiezza dell’intervallo (cioè investire dal tempo 1 al 2 o dal 2 al 3 è lo stesso).
Teorema (prendi una donna, trattala male…fuori dal letto nessuna pietà () Se Φ è uniforme nel tempo → Φ (C, t1, t2) = M (C, t)
La Φ e quindi M è uguale a M = C + I
(Anche I è una funzione di C, t1, t2. Se I è uniforme nel tempo vale la stessa proprietà, il teorema è comunque vero:I = f(C, t1, t2) → F(C, t1, t2) = K (C, t)
Dimostrazione Se Φ è uniforme nel tempo → Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t2+x)
Poniamo t1 = –x Φ (C, t1, t2) = Φ (C, –x+x, t2 – t1) = Φ (C, t2 – t1) = M (C,t)
t2 = –t1
Esempio: t22 – t21
La funzione Φ (C, t1, t2) = C * e è uniforme nel tempo?
(t2+x)2 – (t1+x)2 t22+x2+2t2x – (t12+x2+2t1x)
→ Φ (C, t1+x, t2+x) = C * e = C * e...
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