Matematica financeira

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TEMAS 2 e 3– JUROS COMPOSTOS E DESCONTO SIMPLES – COMERCIAL E RACIONAL (03/09/2012)

1- JUROS COMPOSTOS:
No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a ser a nova base decálculo dos juros no período seguinte.
Em outras palavras, juros compostos são aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescidos dos juros acumulados até o período anterior.
Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente.


M = C. ( 1 + i ) n
Onde:
M = Montante
C =Capital inicial ou principal
I = taxa de juros
n = nº de períodes considerados

Obs. Importante: a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo.

Exemplo: Um investidor quer aplicar a quantia de R$ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % capitalizadas mensalmente, para retirar no final deste período. Quanto irá retirar ?
M = ?
0 i = 8% a.m.
n = 3

C = 800

Dados: M = C (1 + i ) n = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3
P = $ 800 M = R$ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08
n = 3 meses M = R$ 1.007,79
i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.


Exercícios:
1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de voltaapós um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?
C = 15.000
n = 1,7% a.m.
n = 1 ano = 12 meses.

M = C. ( 1 + i ) ^n J = M – C
M = 15000 ( 1 + 0,017. 12) ^12 J = 18362,96 - 15000
M = 18.362,96 J = 3.392,96





2) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado?
J = 2.447,22
n = 8 meses
i = 1,4% a.m.
M = C. ( 1 + i ) ^n ou C = M / C.(1 + i)^n
Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável J. No entanto, sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:
M = C + J
Podemos então substituir M por C + J naexpressão anterior:

Vamos então isolar novamente a variável C:

Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:

3) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?Resposta: i = 2,25% a.m.

4) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?

4) Um cliente aplicou o capital inicial de R$ 4.500,00 numa caderneta de poupança, obtendo juros de 0,5%, 0,7% e 0,6%,sucessivamente, durante 3 meses. Calcule o capital final.
C = 4.500,00 M = C. (1+i)n
n = 3 meses M = 4500 x (1+0,005)1 x (1+0,007)1 x (1+0,006)1
i1= 0,5% ÷ 100= 0,005 M = 4500 x 1,005 x 1,007 x 1,006
i2= 0,7% ÷ 100= 0,007
i3= 0,6% ÷ 100= 0,006 Resposta: M= R$ 4.581,48



5) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 anoe seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?






Resolução:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 18 meses = 6 trimestres (as capitalizações são trimestrais)
M = C  (1 + i)n => 477,62 = C  (1,03)6 => C = => C = R$ 400,00



2- TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo...
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