Matematica Calculo

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UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo Integral
Ano: 2013

4ª Lista de Exercícios – 2013
1) Determine o domínio das funções abaixo e represente graficamente:
a)

f (x, y)  y 2  x .

b)

f x, y  y 2  4. ln(x  y) .

d)

 x 2  y 2  1 f x, y  ln 
.
x



e)

f x, y 

c)

f (x, y)  y  x  1  x

1
 y  x2 x 1
2

2) Para esboçar o gráfico das funções abaixo determine o domínio; determine e trace as interseções da superfície com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível;
a)

f ( x, y )  16  x2  y 2 .

d) f (x, y)  8  2x  4y .
3) Se

Tx, y

b)

f ( x, y )  9 x2  4 y 2 .

c)

f ( x, y )  x2 .

e) f ( x, y )  1  y 2

x, y  sobre uma placa lisa de metal no plano XOY,

for a temperatura em um ponto

então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas. Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupa o 1o quadrante e T x, y  xy .





a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T = 1 e T = 2.
b) Uma formiga, inicialmente sobre o ponto (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo de sua trajetória?
4) Se V(x,y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x,y) no plano XOY, então as curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva a voltagem permanece constante. Dado que

V(x, y) 

8
16  x  y
2

2

, identifique a curva equipotencial na

qual V = 1.
5) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto Po indicado.
b)

f (x, y)  x cosx y  ; Po (0,1).

f x, y  y 2 ln x 2  y 2 ; Po 0,1.

d)

f x, y  x 2  y 2

e)

f x, y  arctgy x ; Po 2,2.

f)

f x, y  e x lnx  y; Po 1,2.

g)

gx, y, z  x  sen 2 y.tgz; Po (4,  4 ,  4).

h)

gx, y,