Matemática

Páginas: 10 (2371 palavras) Publicado: 28 de março de 2011
INTEGRAIS DUPLAS

VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y)(IR2| a < x < b, c < y < d }

e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,
S = {(x,y,z) (IR3| (x,y) ( R, 0 < z < f(x,y)}

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R emsub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento (x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento (y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.
Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , yj-1 < y < y j }
cada um dos quais com área (A = (x(y.

Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij , yij)(A.
Se seguirmos com esseprocedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
V ( [pic]
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

Nossa intuição diz que a aproximação V ([pic]melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:
V = [pic].
Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f.
Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição:

A integral dupla de f sobre o retângulo R é
[pic][pic]
se esse limiteexistir.

Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua.
Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é
[pic].
A soma [pic]é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla.

Exemplo 1: O volume do sólido que está acima doquadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij.

Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemanncom m = n = 2, temos:
[pic]= f(1,1)(A + f(1,2) (A + f(2,1) (A + f(2,2) (A
= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra a figura abaixo:

[pic]

Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro eas aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.

[pic]

INTEGRAIS ITERADAS

Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:

[pic]

Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for...
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