Matemática

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O LOGOTIPO DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Paulo Cezar Pinto Carvalho
IMPA
( Nível Intermediário.

Você já prestou atenção ao logotipo da Olimpíada Brasileira de Matemática, presente na capa da EUREKA! e (em sua versão animada) na página da Internet da OBM? Os círculos coloridos são uma referência ao símbolo dos Jogos Olímpicos, que é formado por 5 anéis entrelaçadosrepresentando os continentes. No logotipo da OBM, porém, estes anéis estão dispostos de um modo tal que conhecimentos matemáticos são essenciais para sua construção. O que existe de difícil em dispor cinco anéis de modo que cada um seja tangente a dois outros e, além disso, tangente a dois círculos adicionais, um interior e outro exterior? Vejamos.

Tomemos dois círculos arbitrários, um contido nooutro e posicionemos um novo círculo, de modo a ser tangente a ambos. A partir daí, os demais círculos estão definidos e a Fig. 1 mostra o que ocorre no caso geral: quando tentamos colocar o último círculo, vemos que a figura não fecha, ou seja, não é possível colocar um quinto círculo tangente a dois dos quatro círculos já colocados e aos dois iniciais.
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Fig. 1 - O quinto círculonão se encaixa

Será que é possível colocar o primeiro círculo colorido em outra posição, de modo a fazer com que a figura se feche exatamente? Pode-se ter uma idéia da resposta a esta pergunta observando a versão animada do logotipo. Observe que os círculos interno e externo são fixos, mas os coloridos assumem tamanhos e posições variáveis e parecem girar em torno deles (veja a Fig. 2 aseguir). Ou seja, a animação sugere que o fechamento da figura não depende da posição ou tamanho do primeiro círculo colorido, dependendo somente do tamanho e posição relativas dos círculos interno e externo!
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Fig. 2 - Os cinco círculos se encaixam para qualquer posição do primeiro

A explicação para estes fatos está em uma transformação geométrica dos pontos do plano chamadade inversão e definida do seguinte modo.


Definição: Seja O um ponto do plano e k um número real positivo. A inversão de centro O e constante k associa a cada ponto P do plano, distinto de O, o ponto P’ (chamado de inverso de P) sobre a semi-reta OP tal que OP. OP’ = k.
A Fig. 3 a seguir ilustra o resultado de se aplicar uma transformação de inversão a um conjunto de pontos doplano. Como o produto OP. OP’ deve ser constante, quanto mais próximo um ponto estiver de O, mais distante o seu inverso estará.
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Fig. 3 - Inversão

O logotipo da OBM é construído com o auxílio deste tipo de transformação, explorando dois fatos fundamentais.


a) Inversões são tranformações injetivas (isto é, pontos distintos possuem inversos distintos).
Para verificar este fato,basta observar que o ponto P cujo inverso é um certo ponto P’ está univocamente determinado e é justamente o inverso de P’ (ou seja, a transformação inversa de uma inversão é ela mesma).


b) O inverso de um círculo que não passa pelo centro de inversão é um outro círculo.
Consideremos uma inversão de centro O e constante k e tomemos um círculo C que não passa por O. Seja P um ponto de C, P’ oseu inverso e Q o outro ponto em que a reta OP corta C.
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Fig. 4 - O inverso de um círculo

Uma propriedade fundamental do círculo é que o produto OP. OQ é igual a uma constante p (a potência de O em relação a C) para qualquer posição de P. Assim,
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Portanto, o inverso de C pode ser obtido assim: para cada ponto Q de C, tomamos o ponto P' sobre a semi-reta OQ talque OP' = (k/p) OQ. Este tipo de transformação é chamado de homotetia e sempre transforma uma figura em outra semelhante (ela faz uma ampliação ou redução da figura, conforme k/p seja maior ou menor que 1). Em particular, o transformado de um círculo por homotetia é sempre um outro círculo. Em resumo: o inverso de um círculo (que não passa pelo centro de inversão O) é um outro círculo, obtido...
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