Matemática financeira

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Descontos Simples | |Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional.
O desconto comercial é também conhecido como desconto por fora e o desconto racional é também conhecido como desconto por dentro. Na prática, os bancos utilizam sempre o desconto comercial.

Vamos considerar os dois tipos de descontos, iniciando pelodesconto racional ou desconto por dentro.
Neste tipo de desconto, o percentual de desconto incide sobre o valor líquido do título a ser descontado.

I - DESCONTO RACIONAL ou desconto por dentro.
Vamos considerar a seguinte simbologia:

N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso no título a ser descontado).
L = valor líquido ou seja, o valor nominal dotítulo menos o desconto (L = N - Dr).
Dr = desconto racional.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto racional incide sobre o valor líquido do título, teremos por definição: Dr = L. i . n; como L = N - Dr , vem, substituindo:
Dr = (N - Dr).i.n. Desenvolvendo, fica:
Dr = N.i.n - Dr.i.n  e daí, Dr + Dr.i.n = N.i.n, de onde tiramos Dr(1 + i.n) =N.i.n e, finalmente:Dr = N.i.n / (1 + i.n)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
Temos: n = 3,  i = 5% = 5/100 = 0,05 a. m. , N = 10000. Logo:
Dr = (10000.0,05.3) / (1 + 0,05.3) = 1500 / 1,15 =  R$1304,35
Assim, o valor líquido a serrecebido pelo título após o desconto nas condições especificadas no problema seria igual a:
L = 10000 - 1304,35 = R$8695,65

II - DESCONTO COMERCIAL ou desconto por fora

Vamos considerar a seguinte simbologia:

N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso no título a ser descontado).
L = valor líquido ou seja, o valor nominal do título menos odesconto (L = N - Dc).
Dc = desconto comercial.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título a ser descontado, teremos por definição: Dc = N. i . n

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, auma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução: Dc = 10000.0,05.3 = R$1500,00
Nota: Em resumo, temos:
a) desconto racional: Dr = N.i.n / (1 + i.n)
b) desconto comercial: Dc = N. i . n
Observe que para valores coincidentes da taxa de desconto i e do período n, o desconto comercial é maior do que o desconto racional . Isto explica o motivo dos bancos adotarem o desconto comercial ao invés do descontoracional pois, a adoção do desconto racional resultará num valor líquido maior a ser recebido pelo portador do título a ser descontado antes do prazo de vencimento (pessoa física ou empresa).
III - Desconto bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF -imposto sobre operações financeiras.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva mensal da operação.
Solução:Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: L = 100000 - 32750 = 67250
Logo, L = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será:
 i = (32750) / (67250) = 0,4870 nos 6 meses = 48,70% em 6 meses = 48,70/6 =...
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