Matemática aplicada à gestão

Páginas: 7 (1577 palavras) Publicado: 6 de abril de 2011
Exercício 1
Qualquer sistema de equações pode ser representado na forma AX=B, onde A é a matriz simples (formada pelos coeficientes do sistema), X é a matriz coluna com as incógnitas e B é a matriz coluna com os termos independentes.
Dado o sistema de equações lineares nas incógnitas X, Y e Z, temos
1 -1 1 X = 0
1 -2 -1 Y I
2 1 2 Z J

Consideremos a matrizampliada do sistema à qual aplicamos o método de Gauss (ou da condensação)
1 -1 1 0 1 -1 1 0
1 -2 -1 I L2= L2- L1 0 -1 -2 I
2 1 2 J L3= L3-2 L1 0 3 0 J L3=(1/3) L3

1 -1 1 0 L1= L1+L3 1 0 1 (1/3)J
0 -1 -2 I L2= L2+L3 0 0 -2 I+(1/3)J L2= -(1/2)L2
0 1 0 (1/3)J 0 1 0 (1/3)J

1 0 1 (1/3)J L1= L1-L21 0 0 (1/2)I+(1/2)J

0 0 1 -(1/2)I-(1/6)J 0 0 1 -(1/2)I-(1/6)J L2 L3

0 1 0 (1/3)J 0 1 0 (1/3)J

1 0 1 (1/2)I+(1/2)J
0 1 0 (1/3)J
0 0 1 -(1/2)I-(1/6)J

Voltando ao sistema AX=B, temos
1 0 0 X = (1/2)I+(1/2)J
0 1 0 Y (1/3)J
0 0 1 Z -(1/2)I-(1/6)J

Temos assim,
X = 1 I + 1J = 1 1 0 + 1 0 1 = ½ 0 + 0 ½ = ½ ½
2 2 2 0 1 2 1 0 0 ½ ½ 0 ½ ½


Y = 1 J = 1 0 1 = 0 1/3
3 3 1 0 1/3 0


Z = -1 I - 1 J = -1 1 0 - 1 0 1 = -½ 0 + 0 -1/6 = ½ -1/6
2 6 2 0 1 6 1 0 0 -½ -1/6 0 -1/6 ½

Exercício 2
((AT)-1 X)T + (AB)-1 = A  ((AT)-1 X )T = A - (AB)-1Dada uma matriz Ado tipo mxn existe uma matriz –A tal que A+(-A)=Om,n=(-A)+A
Em particular, soma-se –(AB)-1 em ambos os membros
 XT ((AT)-1 )T = A - (AB)-1
Propriedadeda transposta: (AB)T = BT AT
 XT ((A-1)T )T = A - (AB)-1
Temos que A é uma matriz regular; Se A é invertível então: (AT)-1 = (A-1)T
 XT A-1 = A - (AB)-1Propriedade da transposta: (AT)T = A
 XT A-1 A = (A - (AB)-1 )A
Multiplicar ambos os membros por A
 XT In = (A - (AB)-1 )A
Se A-1é inversa de A então A-1 A = In = A-1A
 XT = (A - (AB)-1 )A
In é elemento neutro da multiplicação logo A In= A= InA ;
Sejam A, B, C matrizes. Então (A+B)C = AC + BC (prop distributiva) XT = AA - (AB)-1 A
(AB)-1 = B-1A-1
 XT = AA - (B-1 A-1)A
A,B,C matrizes, (AB)C = A(BC) : prop associativa
 XT =AA - B-1 (A-1A)
Se A-1 é inversa de A então A-1 A = In = A-1A
 XT = AA - B-1 In
In é elemento neutro da multiplicação
 XT = AA - B-1...
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