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Somando os termos de uma progressão aritmética
Introdução

N a aula passada, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se conhecemos um de seus termos e a razão. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquer quantidade de termos de uma PA.
Deduziremos a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética usando a mesma idéia que um menino de 10 anos teve no ano de 1787. Esse menino, que se tornou um dos maiores matemáticos de todos os tempos, chamava­se Carl Friedrich Gauss, e uma pequena parte de sua história é a que relatamos a seguir:
O menino Gauss era alemão e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos
Um pouco
10 anos, freqüentava a escola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, o de História professor mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100. Mas, para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quase imediatamente:
Dá 5.050
.
Vamos mostrar como ele calculou de cabeça a soma:
1 + 2 + 3 + .....+ 100
Primeiro vamos representar pos S essa soma. Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida, somamos as duas, termo a termo.
S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100 S =100 + 99 + 98 + .... + 3 + 2 + 1
2S=101 + 101 + 101 + .... +101 + 101 + 101
Assim, duas vezes S é igual à soma de 100 parcelas, todas iguais a 101. Logo:
2S = 100

.
101 2S = 10.100 S = 5.050
Não há dúvida de que esse episódio da vida do menino Gauss nos mostra uma idéia brilhante. Vamos aproveitá­la para deduzir a fórmula da soma dos termos de qualquer

progressão aritmética.

Nossa Como vimos na aula passada, podemos imaginar os termos de uma aul a progressão aritmética como os degraus de uma escada. Veja uma de sete degraus, por exemplo: a
1
Agora, como faremos para calcular a soma das alturas de todos os