Master

SISTEMAS DIGITAIS

ÁLGEBRA DE BOOLE

Setembro de 04

H. Neto, N. Horta

ÁLGEBRA DE BOOLE - 2

SUMÁRIO
PORTAS LÓGICAS
LÓGICA BINÁRIA
ÁLGEBRA DE BOOLE
DEFINIÇÃO
PROPRIEDADES
TEOREMAS

Setembro de 04

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H. Neto, N. Horta

ÁLGEBRA DE BOOLE - 3
LÓGICA BINÁRIA
A lógica binária lida com variáveis que podem ter 2 valores distintos.
É habitual pensar em termos de valores binários e designar estes valores por 0 e 1.

Operações Lógicas Básicas
NOT

OR

AND
X

X .Y

X

Y

X+Y

X

X

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

Setembro de 04

Y

1

1

1

1

1

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ÁLGEBRA DE BOOLE - 4
PORTAS LÓGICAS

Exemplo
5V

As portas lógicas são circuitos electrónicos que operam sobre um ou mais sinais de entrada para produzirem um sinal de saída.

1

Nas tecnologias mais comuns, o circuito lógico distingue 2 intervalos distintos de tensão, que são interpretados como 1 ou 0.

3,5V
1,5V

0

0 Volts

Simbologia (IEC 617)
≥1

1

OR

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&

AND

NOT

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ÁLGEBRA DE BOOLE - 5
ÁLGEBRA DE BOOLE BINÁRIA
Uma Álgebra de Boole binária é um sistema algébrico B2 = (A={0,1}, . ,+) formado por um conjunto gerador A e por duas operações binárias, . , +, designadas por produto lógico e soma lógica, e por uma operação designada por complemento, tal que: (I)

∀ x , y∈A ( x ⋅ y ∈ A) ∧ ( x + y ∈ A)

(II) ∀ x, y , z∈A

(Propriedade de Fecho)

verifica-se

A1 (Propriedade Comutativa)

x⋅ y = y⋅x

x+ y = y+x

A2 (Propriedade Associativa)

x + ( y + z ) = (x + y ) + z

x . ( y . z ) = ( x . y ). z

A4 (Elemento neutro)

x ⋅ ( y + z ) = (x ⋅ y ) + (x ⋅ z ) x ⋅1 = x

A5 (Complemento)

x⋅x = 0

A3 (Propriedade Distributiva)

x + ( y ⋅ z ) = (x + y ) ⋅ (x + z ) x+0= x

x + x =1

[Hist.] Boole, George