Martematica

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Capítulo 1

Retas e Funções Lineares
1.1 A equação de uma reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos denem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta denida pelos pontos A = (x0 , y0 ) e B = (x1 , y1 ) da Figura 1.1(a); um ponto qualquer P = (x, y)também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b).

T    

   

T
y

y1 Aq  

Bq  

 

 

 

 

y1
... . Aq  .. θ . .

Bq  

 

 

 

P  q 

   

 

y0

 

 

y0 x1

x0

E

   

qM
x1

qN
x

x0

E

(a) Reta pelos pontos A e B

(b) Reta pelos pontos A, B e P

Figura 1.1: Denindo aequação de uma reta Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes (neste caso uma semelhança do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever

y − y0 y1 − y0 = . x − x0 x1 − x0
Simplicamos a equação (1.1) notando que a razão

(1.1)

y1 − y0 x1 − x0
é constante1 . Tal constante é chamada de coeciente angular da reta e doravante vamos denotá-lapela letra a. É útil observar que o coeciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação ∆y das
y−y Por outro lado a razão x−x0 não é constante, uma vez que x e y são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo x e 0 y são valores incógnitos.

1 Observe que (x , y ) e (x , y ) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim x , y ,x e y são números conhecidos. 0 0 1 1 0 0 1 1

1

CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES ordenadas dos pontos pela variação ∆x de suas as abcissas; assim

2

a=

∆y y1 − y0 = ∆x x1 − x0

ou

a=

∆y y0 − y1 = . ∆x x0 − x1

(1.2)

Substituindo o valor do coeciente angular dado em (1.2) na equação da reta (1.1) obtemos

y − y0 = a, x − x0
ou, mais apropriadamente,

(1.3)y − y0 = a(x − x0 ) ,
chamada equação da reta na forma ponto-coeciente angular. Isolando y nesta equação obtemos

(1.4)

y = ax − ax0 + y0 ,
onde notamos que −ax0 + y0 é uma constante, denominada coeciente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (1.4) como

y = ax + b ,
chamada equação da reta na forma reduzida.

(1.5)

Exemplo 1.1 (Retapor dois pontos dados) Determine a equação da reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5), mostrada
na Figura 1.2.
y 9 7 5 3

T

q ¨¨ ¨q¨ ¨ ¨¨ ¨q

¨¨

¨

¨

¨¨

¨¨

¨

¨ ¨q¨

E
1 2 3 x

Figura 1.2: Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5).

• Inicialmente calculamos seu coeciente angular a= ∆y 5−3 3−5 = = = 2. ∆x 2−1 1−2

• A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação da reta naforma ponto-coeciente y − 3 = 2(x − 1). • Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma reduzida y = 2x + 1.

Então, esta reta tem coeciente angular a = 2 e coeciente linear b = 1.

CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES

3

No exemplo anterior poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (2, 5), ao invés do ponto (1, 3). Neste caso a equação da reta na formaponto-coeciente seria

y − 5 = 2(x − 2),
e a forma reduzida

y = 2x + 1.
Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeciente não é única: mudando-se o ponto usado muda-se a equação; por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual ponto é usado para escrever sua equação.

1.1.1 O que queremos dizer com equação de uma reta?
A geometria analítica estuda entes geométricos (retas,circunferências, parábolas, regiões etc) por meio de representações algébricas (equações e inequações). Dizer que y = 2x + 1 é a equação de uma dada reta signica que todo ponto da reta é dado por um par ordenado que satisfaz sua equação; reciprocamente, todo par ordenado que satisfaz sua equação é um ponto da reta.

Exemplo 1.2 Ainda considerando a reta y = 2x + 1 e a Figura 1.2.
• O ponto (3,...
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