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Equações de 2º grau
Definições
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e |
Exemplo:
* x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
* 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
* 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
* x2 - 36 = 0 é um equaçãodo 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.
a é sempre o coeficiente de x²;
b é sempre o coeficiente de x,
c é o coeficiente ou termo independente.
Equação completas e Incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c sãodiferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
* x² - 36 = 0
(b = 0) | * x² - 10x = 0
(c = 0) | * 4x² = 0
(b = c = 0) |
Raízes de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. |
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:
* Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
x² - x - 2 = 0 ?
Solução
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos doconjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.
Para x = -1 | (-1)² - (-1) - 2 = 0
1 + 1 - 2 = 0
0 = 0 | (V) |
Para x = 0 | 0² - 0 - 2 = 0
0 - 0 -2 = 0
-2 = 0 | (F) |
Para x = 1 | 1² - 1 - 2 = 0
1 - 1 - 2 = 0
-2 = 0 | (F) |
Para x = 2 | 2² - 2 - 2 = 0
4 - 2 - 2 = 0
0 = 0 | (V) |
Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
* Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² -2px - 2 = 0.

Solução
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
|
* Logo, o valor de p é .

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Resolução de equações incompletasResolver uma equaçãosignifica determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:1ª Propriedade: 2ª Propriedade: 1º Caso: Equação do tipo .Exemplo: * Determine as raízes da equação , sendo .

Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatorestambém o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .2º Caso: Equação do tipo Exemplos: * Determine as raízes da equação , sendo U = IR. SoluçãoDe modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo. |

Resolução de equaçõescompletas
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. |

2º passo: passar 4ac par o 2º membro. |

3º passo: adicionar aos dois membros. |

4º passo: fatorar o 1º elemento.|

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. |

6º passo: passar b para o 2º membro. |

7º passo: dividir os dois membros por . |

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
|
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:
* resolução a equação:
Temos

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