Margem de ganho e margem de fase

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1-Introdução
 Em Controle I, define-se a estabilidade relativa de um

sistema como a propriedade medida pelo tempo de assentamento de cada raiz ou par de raízes.
 Faz-se necessário definir uma medida útil semelhante

de estabilidade relativa para o método de resposta em frequência.
 O Critério de Nyquist fornece informação adequada a

respeito da estabilidade relativa de um sistema.1

12/10/2012

1-Introdução
 Ex: Dado o sistema:

 esboçar o diagrama de Nyquist e comentar estabilidade

1-Introdução
 Para K=1:

 P=0, N=0, Z=0 → o sistema em MF é estável

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1-Introdução
 Até quanto é possível aumentar o ganho K sem que o

sistema se torne instável ?
 O sistema torna-se instável com o aumento do ganho?  Através do LGR é possível verque sim!

1-Introdução
 Para K=15:

 P=0, N=2, Z=2 → o sistema em MF é instável

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1-Introdução
 Através dos exercícios e exemplos sabe-se que é

possível encontrar um valor máximo do ganho K para que o sistema não se torne instável.

1-Introdução
 O critério de estabilidade de Nyquist é definido:
 em termos do ponto (-1,0) no diagrama polar;  ponto 0 dB,-180o nos diagramas de Bode ou nos

diagramas de módulo-fase.

 A proximidade do lugar GH(j) em relação a este ponto

de estabilidade é uma medida da estabilidade relativa.

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1-Introdução
 Genericamente, para um sistema.

GH ( s ) 

K j  ( j 1  1)( j 2  1)

 À medida que K aumenta, o gráfico polar se aproxima

do ponto -1 e finalmente circunscreve oponto -1.

1-Introdução
 O gráfico intercepta o eixo real no ponto:

 K 1 2 1   2
 Portanto, o sistema é criticamente estável (possui raízes

no eixo j) quando:
    {Re}  1 ou K   1 2      1 2 

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1-Introdução
 À medida que K diminui abaixo deste valor marginal, a

estabilidade é aumentada, e a margem entre o ganho K=(1 + 2)/ 1 2 e umganho K = K2 é uma medida de estabilidade relativa.

 Esta medida de estabilidade relativa é chamada de

margem de ganho.

1.1 – Margem de Ganho
 É definido pelo Inverso do módulo | G(j) | na frequência

onde o Ângulo de Fase φ é -180º ({Im} = 0).
 A margem de ganho é uma medida do fator pelo qual o

ganho do sistema poderá ser aumentado para que o lugar GH(jw) passe pelo ponto -1.
Definindo a frequência de cruzamento de fase: 1, como

sendo a frequência na qual o Ângulo de Fase: φ da FTMA é igual a -180º, a Margem de Ganho resulta: Kg = -20 log | G(j) | [dB]

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1.1 – Margem de Ganho
 Para o sistema:

GH ( s ) 

K j  ( j 1  1)( j 2  1)

 Foi visto que para que o sistema fosse estável,

   {Re}  1 ou K   1 2      1 2
 Quando 1 = 2 = 1, o sistema é estável para K  2.  Assim, para um K = 0,5, a MG é igual a:

1   11  1 2   4 ou  20 log 4  12dB GH ( j ) K 1 2 0,5 11

1.1 – Margem de Ganho
 Portanto a MG indica que o ganho do sistema pode ser

aumentado por meio de um fator 4 (12 dB) antes de se atingir o limiar de estabilidade.
 Assim, também pode-se definir MG como:
 Oacréscimo no ganho do sistema, quando a fase for igual

a -180º, e que resultará em um sistema marginalmente estável, com a intersecção do ponto -1 + j0 pelo diagrama de Nyquist.

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1.1 – Margem de Ganho
 Uma Margem de Ganho positiva significa que o sistema

é estável, e o simétrico que o sistema é instável.

 Para um sistema de fase mínima estável, a Margem de

Ganho indicaquanto o ganho pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável.

 Para um sistema instável, a Margem de Ganho é

indicativa de quanto o ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável.

1.2 – Margem de Fase
 Uma medida alternativa da estabilidade relativa pode ser

definida em termos do ângulo de margem de fase entre um sistema específico e um sistema marginalmente...
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