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O produto misto tem seu destaque na Álgebra Vetorial devido a sua interpretação geométrica que está relacionado ao volume de paralelepípedo ou tetraedro determinado por  vetores. Neste post, veremosa sua definição, suas propriedades e aplicações.

Definição 1: Sejam os vetores ,  e . O produto misto desses vetores, tomados nesta ordem e denotado por  é definido por 

Sendo

segue que

ou seja,o produto misto dos vetores ,  e  é um determinante de ordem  e desta forma, suas propriedades decorrem das propriedades dos determinantes. É importante observar que o produto misto é um númeroreal.

Exemplo 1: Calcule , sendo ,  e . 

Resolução: Pela definição acima, temos

Proposição 1: Haverá uma troca de sinal no produto misto se fizermos uma permutação entre dois vetores quaisquer, istoé,

Demonstração: Segue diretamente do fato que a purmutação entre duas linhas de um determinante, altera o seu sinal.

Proposição 2: Valem as seguintes propriedades operatórias para o produto misto.i) ;
ii) ;
iii) Se dois vetores quaisquer são paralelos, então o produto misto é nulo, isto é,

Demonstração: Segue imediatamente das propriedades de determinantes. 

Proposição 3: A permutação dasoperações "" e "" no produto misto não alteral o seu valor, isto é,

.
Demonstração:

onde usamos a propriedade comutativa do produto escalar e a Prop. 1.

Sabemos que  pontos não colineares sempredetermina um único plano, mas  pontos no espaço nem sempre são coplanares. Na proposição seguinte, veremos a condição para que isto ocorra.

Proposição 4: Os pontos , ,  e  são coplanares se e somentese , onde ,  e .

Demonstração: Suponhamos que os pontos , ,  e  sejam coplanares. Assim, os vetores ,  e  são coplanares, de modo que existem  tais que . Assim,

devido a Prop. 2.

Reciprocamente,se , então os vetores  e  são ortogonais. Mas isto somente é possível se  pertencer ao plano definido por  e , ou seja, ,  e  são coplanares e consequentemente os pontos , ,  e .

Proposição...
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