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1
Polígonos
Sumário
1.1

Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Problemas

7

.......................

1

Unidade 1

Polígonos
1.1

Polígonos
←→

Considere três pontos A, B e C no plano. Se C estiver sobre a reta AB ,
diremos que A, B e C são colineares; caso contrário, diremos que A, B e C
são não colineares (Figura 1.1).
C

r

B

A

Figura 1.1: três pontos nãocolineares.
Três pontos não colineares formam um triângulo. Nesse caso, a região
triangular correspondente é região limitada do plano, delimitada pelos segmentos que unem os três pontos dois a dois. Sendo A, B e C tais pontos, diremos
que A, B e C são os vértices do triângulo ABC . Mostramos, na Figura 1.2,
o triângulo ABC que tem por vértices os pontos A, B e C da Figura 1.1.
C
b
a
A

c

B

Figura1.2: o triângulo ABC de vértices A, B e C .
Ainda em relação a um triângulo genérico ABC , diremos que os segmentos
AB , AC e BC (ou seus comprimentos) são os lados do triângulo; em geral,
escreveremos AB = c, AC = b e BC = a para denotar os comprimentos dos
lados de um triângulo ABC (Figura 1.2). A soma dos comprimentos dos lados
do triângulo é seu perímetro, o qual será, doravante, denotado por 2p;assim,
p é o semiperímetro do triângulo. Nas notações da Figura 1.2, temos
p=

a+b+c
.
2

(1.1)

Os ângulos ∠A = ∠BAC , ∠B = ∠ABC e ∠C = ∠ACB (ou suas medidas
A = B AC , B = AB C e C = AC B ) são os ângulos internos do triângulo.

2

Polígonos

Unidade 1

Podemos classicar triângulos de duas maneiras básicas: em relação aos
comprimentos de seus lados ou em relação às medidas de seus ângulos;vejamos, por enquanto, como classicá-los em relação aos comprimentos de seus
lados. Como todo triângulo tem três lados, as únicas possibilidades para os
comprimentos dos mesmos são que haja pelo menos dois lados iguais ou que os
três lados sejam diferentes dois a dois. Assim, temos a denição a seguir.

Definição 1

Um triângulo ABC é denominado:
( a)

Equilátero, se AB = AC = BC .

(b)

Isósceles,se ao menos dois dentre AB, AC, BC forem iguais.

( c)

Escaleno, se AB = AC = BC = AB .

A

A

B

A

C

B

C

B

C

Figura 1.3: triângulos equilátero (esq.), isósceles (centro), escaleno (dir.).

Pela denição acima, todo triângulo equilátero é isósceles; no entanto, a
recíproca não é verdadeira (veja, por exemplo, o triângulo ABC do centro na
Figura 1.3, para o qual temos claramente AB = AC =BC ).
Quando ABC for um triângulo isósceles, tal que AB = AC , diremos que
o lado BC é a base do triângulo. Para triângulos equiláteros, podemos chamar
um qualquer de seus lados de base, mas, nesse caso, raramente usamos essa
palavra, i.e., em geral reservamos a palavra base para triângulos isósceles que
não são equiláteros.
Um triângulo é um tipo particular de polígono convexo, conforme adenição
a seguir.

3

Unidade 1

Definição 2

Polígonos

Sejam n ≥ 3 um natural e A1 , A2 , . . . , An pontos distintos do plano.
Dizemos que A1 A2 . . . An é um polígono (convexo) se, para 1 ≤ i ≤ n, a
←→
reta Ai Ai+1 não contém nenhum outro ponto Aj , mas deixa todos eles em um
mesmo semiplano, dentre os que ela determina (aqui e no que segue, A0 = An ,
An+1 = A1 e An+2 = A2 ).
A4
A5
A3
A1

A2

Figura1.4: um polígono convexo de cinco vértices (e lados).
Os pontos A1 , A2 , . . . , An são os vértices do polígono; os segmentos A1 A2 ,
A2 A3 , . . . , An−1 An , An A1 (ou, por vezes, seus comprimentos) são os lados
do polígono. Assim como com triângulos, a soma dos comprimentos dos lados
do polígono é o perímetro do mesmo. A região poligonal correspondente ao
polígono A1 A2 . . . An é a regiãolimitada do plano, delimitada pelos segmentos
A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An , An A1 (para um exemplo, veja a Figura 1.5).
A4
A5
A3
A1

A2

Figura 1.5: a região poligonal correspondente ao polígono da gura 1.4.
Uma diagonal de um polígono é qualquer um dos segmentos Ai Aj que não
seja um lado do mesmo; por exemplo, o polígono A1 A2 . . . A5 da Figura 1.4 possui exatamente cinco diagonais: A1 A3...
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