MA 11 01

Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional

MA11  Números e Funções Reais
Unidade 1  Conjuntos
Unidade 2  Conjuntos
Roteiro de Estudos

Exercícios Recomendados
1.

Decida quais das armações a seguir estão corretas. Justique suas respostas.
(a) ∅ ∈ ∅;

2.

(b) ∅ ⊂ ∅;

(c) ∅ ∈ {∅} ;

(d) ∅ ⊂ {∅}.

Demonstre as propriedades de distributividade:
(a) a operação de união em relação à interseção;
(b) a interseção em relação à união.

3.

Demonstre que A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.

4.

Dados A, B ⊂ U , demonstre as relações de De Morgan:
(a) (A ∪ B)C = AC ∩ B C ;
(b) (A ∩ B)C = AC ∪ B C .

5.

Considere P , Q e R condições, aplicáveis aos elementos de um conjunto
U ; e A, B e C os subconjuntos de U dos elementos que satisfazem P ,
Q e R, respectivamente. Expresse, em termos de implicações entre P , Q e R, as seguintes relações entre os conjuntos A, B e C .
(a) A ∩ B C ⊂ C ;

(b) AC ∪ B C ⊂ C ;

(d) AC ⊂ B C ∪ C ;

(e) A ⊂ B C ∪ C C .

1

(c) AC ∪ B ⊂ C C ;

6.

Recorde que a denição da diferença entre conjuntos:
B \ A = {x ; x ∈ B e x ∈ A}.
/

Mostre que
a) B \ A = ∅ se, e somente se, B ⊂ A;
b) B \ A = B se, e somente se, A ∩ B = ∅;
c) vale a igualdade B \ A = A \ B se, e somente se, A = B .
d) Determine uma condição necessária e suciente para que se tenha
A \ (B \ C) = (A \ B) \ C.
7.

8.

9.

Dê exemplos de implicações, envolvendo conteúdos do ensino médio, que sejam: verdadeiras, com recíproca verdadeira; verdadeiras, com recíproca falsa; falsas, com recíproca verdadeira; falsas, com recíproca falsa.
Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação
√
x + x = 2. Verique quais são reversíveis e explique o aparecimento de
√
raízes estranhas. Faça o mesmo com a equação x + 3 = x.
Considere as seguintes (aparentes) equivalências lógicas: x=1⇔ ⇔
⇔
⇔

x2 − 2x + 1 = 0 x2 − 2 · 1 + 1 = 0 x2 − 1 = 0 x = ±1