Métodos quantitativos

Páginas: 19 (4610 palavras) Publicado: 24 de fevereiro de 2011
Cap´ ıtulo 2 - Fun¸oes reais de v´rias vari´veis reais c˜ a a Caderno de exerc´ ıcios Derivadas parciais 1. Fazendo uso das regras de deriva¸ao determine as duas derivadas parciais de 1a c˜ ordem das seguintes fun¸˜es reais de duas vari´veis reais: co a (a) f (x, y) = y + ex (b) f (x, y) = e + ln
2 −xy

x y

(c) f (x, y) = x tan2 (xy 3 + 2) (d) f (x, y) = sin x ln y

(e) f (x, y) =2ln(x+2y) (f) f (x, y) = 200x0,3 y 0,7 2. Seja f a fun¸ao real de duas vari´veis reais definida por f (x, y) = xex y . Mostre c˜ a que fx (1, ln 2) + fy (1, ln 2) = 4(1 + ln 2). 3. Fazendo uso das regras de deriva¸˜o determine as trˆs derivadas parciais de 1a ca e ordem das seguintes fun¸˜es reais de trˆs vari´veis reais: co e a √ (a) f (x, y, z) = sin x4 + x yz (b) f (x, y, z) = x2 z ln(2y) (c) f (x, y,z) = ln2 (x + y + 2z) (d) f (x, y, z) = (xy 2 + 1)x + z 4. Seja f a fun¸˜o real de trˆs vari´veis reais definida por ca e a f (x, y, z) = ey ln x2 + 2y 2 + (e − 1)z 2 . Mostre que fx (1, 0, 1) + fy (1, 0, 1) + fz (1, 0, 1) = 3. 5. Fazendo uso das regras de deriva¸˜o determine as derivadas parciais de 2a orca dem das fun¸oes reais de vari´veis reais a seguir consideradas. Verifique que as c˜ aderivadas parciais de segunda ordem mistas s˜o iguais. a (a) f (x, y) = y + sin(x2 − xy) x (b) f (x, y) = x+y (c) f (x, y, z) = xy 2 z + yx3 + y 4 (d) f (x, y, z) = exy
2 −z 2

1

2009-2010, M´todos Quantitativos II, Cap´ e ıtulo 2 Fun¸˜es homog´neas co e 6. Considere as seguintes fun¸oes reais de duas vari´veis reais: c˜ a (a) f (x, y) = x sin (c) f (x, y) = ln (e) f (x, y) = y +y x (b) f (x, y)= sin(xy) + xy (d) f (x, y) = (f) 2 x + y3
3

2

x +2 y

x3 + x2 y xy 2 + y 3 x+y x2 + xy

f (x, y) = xy 2 + x3 + y 2 x3

(g) f (x, y) = √ 3

x2 + ln 4xy (h) f (x, y) = x+y

6.1. Verifique se as fun¸oes s˜o homog´neas e no caso de o serem indique o c˜ a e respectivo grau de homogeneidade. 6.2. Invocando o teorema de Euler indique para cada uma das fun¸oes hoc˜ mog´neas qual aexpress˜o de xfx (x, y) + yfy (x, y). e a 7. Considere a seguinte fun¸ao real de duas vari´veis reais c˜ a f (x, y) = x7 + xy 6 + x5 y 2 . Mostre que f , fy e fy2 s˜o fun¸oes homog´neas e indique os respectivos graus de a c˜ e homogeneidade. 8. Seja z = f (x, y) uma fun¸˜o real de duas vari´veis reais definida implicitamente ca a por y zxy + x2 ln = xy. x Escreva z explicitamente como uma fun¸˜o de x e y emostre que f ´ uma fun¸ao ca e c˜ homog´nea de grau zero. e 9. Considere a fun¸˜o real de trˆs vari´veis reais f (x, y, z) = ex +2y −3z . Verifique ca e a que a fun¸ao g(x, y, z) = ln[f (x, y, z)] ´ homog´nea de grau 2, ou seja, mostre c˜ e e 2 que ∀t ∈ IR, g(tx, ty, tz) = t g(x, y, z). 10. Determine β de forma a que as seguintes fun¸oes sejam homog´neas e indique o c˜ e respectivo grau dehomogeneidade. (a) f (x, y) = xβ y + xy 7 (b) f (x, y) = sin yβ x+y
3 2 2 2

(c) f (x, y, z) = xyz + (d) f (x, y, z) =

x2 y β

x+y+z 1 2 2 + β x +y z

2009-2010, M´todos Quantitativos II, Cap´ e ıtulo 2

3

11. Seja f uma fun¸˜o real de duas vari´veis reais homog´nea de grau quatro. Supondo ca a e 1 , 1 = 5 e f (1, 5) = 10, determine o valor das seguintes que f (2, 3) = 7, fx 2 xy imagens:(a) f (−2, −3) (b) fx (1, 2) (c) fxy (3, 15) (Sugest˜o: para responder as duas ultimas al´ a ` ´ ıneas tenha em considera¸ao c˜ que se f ´ homog´nea de grau α, ent˜o as suas derivadas parciais de primeira e e a e segunda ordem s˜o homog´neas de grau α − 1 e α − 2, respecticamente.) a e 12. Seja f (x, y) a fun¸ao de custo relativa ` produ¸˜o de x unidades de um produto c˜ a ca A e y unidades de umproduto B. Suponha que f ´ uma fun¸˜o homog´nea de e ca e grau trˆs. e (a) Sabendo que f (110, 20) = 100, qual o custo na produ¸˜o de 220 unidades ca do produto A e 40 unidades dos produto B? (b) Considere a situa¸˜o em que s˜o produzidas 110 unidades do produto A e 20 ca a unidades do produto B. Sabendo que o custo marginal relativo ao produto B ´ dado por fy (110, 20) = 6, determine o custo...
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