Métodos dos mínimos quadrados

Páginas: 5 (1043 palavras) Publicado: 18 de outubro de 2011
Método dos Mínimos Quadrados

Objetivo

Este experimento tem por objetivo determinar o valor de π através de medidas diretas e da utilização do método dos mínimos quadrados.

Material Utilizado

Círculos de cartolina de diâmetros variados
Folhas de papel milimetrado.

Procedimento Experimental

Foi colocado 5 (cinco) círculos de diâmetros diferentes sobre uma folha de papelmilimetrado, contornando-os com o lápis, posteriormente, sem o auxilio de réguas, foi determinado a área de cada círculo pela contagem dos milímetros contidos no contorno, em seguida marcou-se aproximadamente o centro de cada círculo e a partir deste ponto contou-se o número de milímetros até a fronteira do contorno determinando assim cada raio.
A partir destas medidas foram construídos gráficos eanalisados os resultados obtidos.

Tratamento dos Dados

Tabela Principal Tabela Principal convertida para cm

R (mm) | A(R) (mm2) |
62,5 | 12250,0 |
52,0 | 8462,5 |
38,5 | 4887,5 |
35,0 | 3800,0 |
29,0 | 2612,5 |
R (cm) | A(R) (cm2) |
6,3 | 119 |
5,2 | 83 |
3,95 | 50 |
3,5 | 38 |
2,9 | 26 |

Como o método dos mínimos quadradosé mais adequado para casos de ajustes de equações lineares e as A(R) e R são grandezas de uma função potência, explicado pela relação entre elas, que é dada pela função A=KRm onde, A= área, K= constante de proporcionalidade, R= Raio e m = grau de polinômio, que pode ser visualizado na representação gráfica dos dados em papel log-log (não solicitado pelo professor), aplica-se este método aoslogaritmos das grandezas acima referidas.

Tabela Auxiliar

Log R (cm) | Log A(R) (cm2) |
0,8 | 2,08 |
0,72 | 1,92 |
0,60 | 1,70 |
0,54 | 1,58 |
0,46 | 1,41 |

Tabela Auxiliar de Somatórios

Σ Ri | ΣA(R)i | Σ log R | Σ log A | Σ log R x log A | Σ (log R)2 |
21,85 | 316,0 | 3,12 | 8,69 | 5,57 | 2,02 |

Ajustando os dados pelo método dos mínimos quadrados aplicados aoslogaritmos das grandezas de A e R, teremos:

A = KRm log A = log K + m log R, onde :

log A = Y = b + a x; log k = b; log R = X e m = a


a = [Σ xi] [Σ yi] – n [Σ xi yi]
[Σ xi]2 – n [Σ xi2]

a = [Σ log R] [Σ log A] – n [Σ (log R x log A)][Σ log R]2 – n [Σ (log R2 )]

a = 1,95

b = [Σ xi yi] [Σ xi] –[Σ xi2] [Σ yi]
[Σ xi]2 – n [Σ xi2]

b = [Σ (log R x log A)] [Σ log R] – [ Σ (log R)2] [Σ log A ]
[Σ log R]2 – n [Σ (log R2 )]

b = 0,52

y = b + ax log A = b + a log R A = KRa , onde log K = b
K= 100,52 , K=3,31Logo A = 3,31 R1,95, onde K = π

R (cm) | A(R) (cm2) |
6,3 | 119,82 |
5,2 | 82,42 |
3,95 | 48,22 |
3,5 | 38,08 |
2,9 | 26,39 |
Tabela de Ajuste

Discrepância
∆m = Vt – Ve 100 = 2 – 1,95 100% = 2,56%

Vt 2

∆K = Vt – Ve 100 =3,14 –3,31 100% = 5,13%

Vt 3,14
Após o tratamento dos dados percebemos que a aplicação do Princípio dos Mínimos Quadrados que, por se tratar de um método analítico indicará uma, e somente uma, curva que melhor represente o conjunto de dados coletados experimentalmente, possibilita um melhor ajuste a equações lineares.
Quando calculamos asdiscrepâncias em m e K podemos concluir que os valores de Π experimental - K- e da potência m se aproximam dos valores esperados.

Exercícios

1º questão – Determine as equações (11) e (12).

a = [Σ xi] [Σ yi] – n [Σ xi yi] (11)
[Σ xi]2 – n [Σ xi2]

b = [Σ xi yi] [Σ xi] –[Σ xi2] [Σ yi] (12)
[Σ xi]2 – n [Σ xi2]

Como cada...
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