Métodos deterministicos ii aula 1 vol 1

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“metodosdeterm” — 2008/12/19 — 11:32 — page 7 — #3

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Aula

1
E I NVERSAS

F UNC OES C OMPOSTAS ¸˜

Objetivos
Ao final desta aula, vocˆ dever´ ser capaz de: e a 1 entender e trabalhar com o conceito de funcao ¸˜ crescente e de funcao composta; ¸˜ 2 entender os conceitos de funcao sobrejetiva, in¸˜ jetiva, bijetiva e de funcao inversa; ¸˜ 3 decidir se uma funcao possui ou n˜o inversa; ¸˜ a 4 resolver problemas envolvendo funcoes inversas ¸˜ e representar graficamente as solucoes. ¸˜

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M´ todos Determin´sticos II | Funcoes Compostas e Inversas e ı ¸˜

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Nesta aula, vamos identificar propriedades importantes das funcoes. Continuamos nosso trabalho considerando funcoes re¸˜ ¸˜ ais de vari´ velreal. Ou seja, os dom´nios D = D( f ) das funcoes a ı ¸˜ f s˜ o sempre subconjuntos de n´ meros reais, isto e, D ⊂ R, ena u ´ quanto que o contradom´nio e constitu´do de todos os n´ meros ı ´ ı u reais R. Para iniciar, eis o conceito de funcao composta. ¸˜

F UNCOES C OMPOSTAS ¸˜
Considere uma funcao f cujo dom´nio e D f e outra funcao g ¸˜ ı ´ ¸˜ cujo dom´nio e Dg . Suponha ainda que a imagemde f , Im( f ), ı ´ esteja contida no dom´nio de g, isto e, Im( f ) ⊂ D. Veja a repreı ´ sentacao da situacao no esquema a seguir: ¸˜ ¸˜ f : D f −→ R , Im( f ) ⊂ Dg e g : Dg −→ R.

Note que como Im( f ) ⊂ Dg ent˜ o para todo n´ mero x ∈ D f , a u f (x) ∈ Dg . Logo e permitido aplicar a funcao g ao n´ mero ´ ¸˜ u f (x), isto e, calcular o resultado g( f (x)). Assim procedendo, ´ estaremosassociando a cada n´ mero real x ∈ D f um n´ mero u u real g( f (x)). Portanto, este esquema permite definir uma nova funcao h, a partir das funcoes f e g de partida, pela f´ rmula: ¸˜ ¸˜ o h : D f −→ R, onde h(x) = g ( f (x)). A nova funcao h e denominada a composta de f com g. Para ¸˜ ´ facilitar, a notacao e o c´ lculo da funcao composta, vamos con¸˜ a ¸˜ siderar x a vari´ vel para a funcao f e y avari´ vel para a funcao a ¸˜ a ¸˜ g. Como Im( f ) ⊂ D f , a imagem da funcao f est´ contida no ¸˜ a dom´nio da funcao g e, ent˜ o, y = f (x). Tamb´ m representando ı ¸˜ a e por w os elementos que est˜ o na Im(g), podemos escrever que a y = f (x) , w = g(y) ⇒ w = h(x) = g( f (x)). Usamos a notacao h = g◦ f para representar a funcao obtida pela ¸˜ ¸˜ composicao das funcoes f e g. Veja, tamb´ m, a Figura1.1 que ¸˜ ¸˜ e simboliza a composicao de funcoes. ¸˜ ¸˜

8 CEDERJ

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f

g

Im f

(

x Df

)

((
y = f (x) Dg

))
g(y) = g ( f (x))

R

Figura 1.1: A funcao composta h = g ◦ f . ¸˜ Exemplo 1.1 ¥ ¦ Considere as funcoes f : R → R e g : R → R dadas por ¸˜ y = f (x) = x − 2 w = g(y) = y3 . a. Encontrea funcao composta h = g ◦ f . ¸˜ ´ ı ¸˜ b. Mostre que x = 2 e uma das ra´zes da equacao h(x) = 0. Solucao: ¸˜
express˜ o a a. A funcao composta h = g ◦ f tem como f´ rmula a ¸˜ o
§ ¤

h(x) = g( f (x)) = g(x − 2) = (x − 2)3 = x3 − 6x2 + 12x − 8 . b. Usando a f´ rmula da funcao encontramos que o ¸˜ h(2) = 23 − 6(2)2 + 12(2) − 8 = 8 − 24 + 24 − 8 = 0 . Portanto, x = 2 e raiz da equacao h(x) = 0.´ ¸˜
§

Exemplo 1.2 ¥ ¦ Sejam as funcoes g : R → R e f : R → R definidas por ¸˜ g(x) = x2 se x ≥ 0 x se x < 0 e f (x) = x − 3 .

¤

Encontre a express˜ o que define g ◦ f = h. a Solucao: Temos que ¸˜
h(x) = g( f (x)) = g(x − 3) . CEDERJ 9

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AULA

´ 1 1 MODULO 1

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“metodosdeterm” — 2008/12/19 — 11:32 — page 10 — #6
M´ todos Determin´sticos II | Funcoes Compostas eInversas e ı ¸˜ Em virtude da definicao de g, precisamos saber quando x − 3 ≥ 0 e ¸˜ quando x − 3 < 0. Ora x−3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 Logo, h(x) = (x − 3)2 se x ≥ 3 x−3 se x < 3 e x − 3 < 0 ⇔ x < 3.

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§

Exemplo 1.3 ¥ ¦

¤

Sejam as funcoes reais f (x) = 3x+2 e (g◦ f )(x) = x2 −x+1. ¸˜ Determine a express˜ o de g. a Solucao: Temos que ¸˜
(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(3x + 2) = x2 − x + 1 . Facamos...
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